Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $AD,SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel SA$. Do đó góc giữa $MN$ và $SC$ bằng góc giữa $SA$ và $SC$, tức là góc $\widehat{ASC}$ của tam giác $SAC$.

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ có $SA=SC=a$, $AC=a\sqrt{2}$.

Áp dụng định lí cosin:
$$\cos \widehat{ASC}=\frac{S{A}^2+S{C}^2-A{C}^2}{2\cdot SA\cdot SC}=\frac{a^2+a^2-2a^2}{2a^2}=0.$$

Suy ra $\widehat{ASC}=90^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $SC$ bằng $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc).