Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả cách cạnh bằng nhau. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos (AB,DM)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tứ diện bằng $a$. Tam giác $DBC$ đều nên $DM\perp BC$; tương tự $AM\perp BC$. Đặt hệ tọa độ với $a=1$: $B(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $A\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$, $D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$, $M\left(\frac{1}{2},0,0\right)$. Khi đó $\overrightarrow{DM}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$, $|DM|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$; $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$, $|AB|=a$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DM}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}=-\frac{1}{4}{a}^2$. Vậy $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})=\frac{-a^2/4}{a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$. Vì góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn nên $\cos (AB,DM)=\frac{\sqrt{3}}{6}$ (giá trị có hướng của tích vô hướng là $-\frac{\sqrt{3}}{6}$).