Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }A\perp (ABC)$, đáy là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC=a\sqrt{2}$; cạnh bên $A{A}^{\prime }=a$. Gọi $N$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính góc giữa đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AC=a\sqrt{2}$ nên $AB=BC=a$. Đặt hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $A^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(0;a;a)$. Trung điểm $N$ của $A^{\prime }{C}^{\prime }$: $N\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};a\right)$, nên $\overrightarrow{AN}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};a\right)$, $|AN|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+a^2}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ đi qua $B$, có $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(a;0;a)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(a^2;0;-a^2)\parallel (1;0;-1)$.

Góc $\theta$ giữa $AN$ và $(A^{\prime }BC)$:
$$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AN}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AN}||\vec{n}|}=\frac{\left|-\frac{a}{2}-a\right|}{a\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\frac{3a}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Vậy $\theta =60^{\circ }$.