Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }A\perp (ABC)$, tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$. Tính $\cos \phi$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Vì $△ABC$ đều cạnh $a$ nên $AH\perp BC$, $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do $A^{\prime }A\perp (ABC)$ nên theo định lý ba đường vuông góc $A^{\prime }H\perp BC$, tức $A^{\prime }H$ là hình chiếu của $A^{\prime }A$ (và của $A{A}^{\prime }$) lên mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$. Vậy góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(A^{\prime }BC)$ là $\phi =\angle A{A}^{\prime }H$. Tam giác $A^{\prime }AH$ vuông tại $A$ với $A{A}^{\prime }=a$, $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $A^{\prime }H=\sqrt{a^2+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$. Suy ra $\cos \phi =\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }H}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.