Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích $V$ và tất cả các cạnh đều bằng $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp có tất cả cạnh bằng $a$ nhưng không chắc là hình hộp chữ nhật, nên $V=S_{ABCD}\cdot h$ với $h$ là chiều cao (giữa hai đáy), $V$ không nhất thiết bằng $a^3$.
a) $V_{ABC{B}^{\prime }}$ là hình chóp có đáy $ABC$ (nửa hình bình hành $ABCD$, diện tích $\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$), chiều cao từ $B^{\prime }$ đến $(ABC)$ bằng $h$. Vậy $V_{ABC{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{6}V$. Đúng.
b) Chỉ khi hình hộp là hình hộp chữ nhật thì $V=a^3$; với hình hộp tổng quát $V=a^2\cdot a\sin \theta <a^3$. Sai.
c) $V_{A^{\prime }.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}V\ne \frac{2}{3}V$. Sai.
d) Tọa hóa: $A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A^{\prime }(u,v,h)$ thì $C(a,a,0),B^{\prime }(a+u,v,h),D^{\prime }(u,a+v,h)$. Thể tích tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{6}|\det (C,B^{\prime },D^{\prime })|$. Tính $\det =a(vh-h(a+v))-a((a+u)h-hu)=-a^{2}h-a^{2}h=-2a^{2}h$, nên thể tích $=\frac{2a^{2}h}{6}=\frac{a^{2}h}{3}=\frac{1}{3}V$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ có diện tích bằng nửa $S_{ABCD}$, chiều cao bằng $h$: $V_{ABC{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{6}V$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình hộp tổng quát có $V=a^2\cdot a\sin \theta$ với $\theta$ là góc giữa cạnh bên và đáy, chỉ bằng $a^3$ khi là hình hộp chữ nhật.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V_{A^{\prime }.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}V$, không phải $\frac{2}{3}V$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa được $V_{AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{6}|-2a^{2}h|=\frac{a^{2}h}{3}=\frac{1}{3}V$.