Trong không gian $Oxyz$, Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $OABC$ ? (kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm) biết $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;b)$ với $|a|+|b|=\mathrm{5..}$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích tứ diện $OABC$ với $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;b)$ là $V=\frac{|a\cdot a\cdot b|}{6}=\frac{a^2|b|}{6}$. Đặt $x=|a|,y=|b|$, cần tối đa hóa $x^{2}y$ với $x+y=5$. Theo AM-GM: $\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y=5\ge 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}y}{4}}$, nên $x^{2}y\le 4{\left(\frac{5}{3}\right)}^3=\frac{500}{27}$, dấu bằng khi $\frac{x}{2}=y=\frac{5}{3}$, tức $x=\frac{10}{3},y=\frac{5}{3}$ (thỏa $x+y=5$). Vậy $V_{\max }=\frac{500}{27\cdot 6}=\frac{250}{81}\approx 3,0864\approx 3,09$, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án trang 10, cột 20, mã đề 102).