Cho $P=\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4{y}^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2{y}^4}}$ và $Q=2\sqrt{{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)}^3}$ với $x,y$ là các số thực khác 0. So sánh $P$ và $Q$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=\sqrt[3]{x^2}=|x{|}^{2/3}>0$, $b=\sqrt[3]{y^2}=|y{|}^{2/3}>0$. Khi đó $x^2=a^3$, $y^2=b^3$, và $\sqrt[3]{x^4{y}^2}=|x{|}^{4/3}|y{|}^{2/3}=a^{2}b$, $\sqrt[3]{x^2{y}^4}=a{b}^2$. Suy ra $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4{y}^2}}=\sqrt{a^3+a^{2}b}=\sqrt{a^2(a+b)}=a\sqrt{a+b}$ (vì $a>0$), tương tự $\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2{y}^4}}=b\sqrt{a+b}$. Vậy $P=(a+b)\sqrt{a+b}=(a+b{)}^{3/2}$. Mặt khác $Q=2\sqrt{(a+b{)}^3}=2(a+b{)}^{3/2}=2P$. Vì $a+b>0$ nên $P>0$, do đó $Q=2P>P$. Kết luận: $P<Q$, cụ thể $Q=2P$.