Cho tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$, $\Delta =b^2-4ac$. Ta có $f(x)\le 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ có $f(x)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) và đồ thị không nằm trên trục hoành, tức là không có hai nghiệm phân biệt ($\Delta \le 0$). Kiểm tra: nếu $a<0,\Delta =0$ thì $f(x)\le 0$ với đẳng thức tại nghiệm kép; nếu $\Delta <0$ thì $f(x)<0$ với mọi $x$. Cả hai trường hợp đều thỏa $f(x)\le 0$. Ngược lại, nếu $\Delta >0$ thì tam thức đổi dấu nên không thỏa. Vậy điều kiện là $a<0$ và $\Delta \le 0$.