Có hai lô hàng. Lô 1: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô 2: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm lấy được lấy ra lại lấy tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm. (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần nghìn)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k_1$ là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy từ lô 1, $k_2$ là số phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy từ lô 2, $k=k_1+k_2$.

Lô 1 (3 phế/10): $P(k_1=0)=\frac{C(7,2)}{C(10,2)}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$, $P(k_1=1)=\frac{C(3,1)C(7,1)}{45}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$, $P(k_1=2)=\frac{C(3,2)}{45}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$.

Lô 2 (2 phế/10): $P(k_2=0)=\frac{C(8,3)}{C(10,3)}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$, $P(k_2=1)=\frac{C(2,1)C(8,2)}{120}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$, $P(k_2=2)=\frac{C(2,2)C(8,1)}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$.

Kỳ vọng: $E[k_1]=2\cdot \frac{3}{10}=0,6$, $E[k_2]=3\cdot \frac{2}{10}=0,6$ nên $E[k]=1,2=\frac{6}{5}$.

Phương sai (phân phối hypergeometric): $\mathrm{Var}(k_1)=2\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{8}{9}=\frac{28}{75}$, $\mathrm{Var}(k_2)=3\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{7}{9}=\frac{28}{75}$, nên $\mathrm{Var}(k)=\frac{56}{75}$ (độc lập).

Suy ra $E[k^2]=\frac{56}{75}+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{56+108}{75}=\frac{164}{75}$.

Xác suất 2 sản phẩm lấy lần cuối đều phế phẩm:
$$P(\text{2 pheˆˊ})=E\left[\frac{C(k,2)}{C(5,2)}\right]=\frac{1}{10}E\left[\frac{k(k-1)}{2}\right]=\frac{1}{10}\cdot \frac{E[k^2]-E[k]}{2}=\frac{1}{10}\cdot \frac{164/75-90/75}{2}=\frac{1}{10}\cdot \frac{37}{75}=\frac{37}{750}.$$

Vậy $P(\text{ıˊt nhaˆˊt một chıˊnh phẩm})=1-\frac{37}{750}=\frac{713}{750}\approx 0,9507\approx 0,951$.

Kiểm tra lại: $\frac{713}{750}=0,\mathrm{95066...}$, làm tròn đến hàng phần nghìn là $0,951$. Phép tính khớp với định nghĩa $E[C(k,2)/C(5,2)]$ (đã chia cho $C(5,2)=10$).