Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ sao cho $iz\bar{z}+(1+2i)z-(1-2i)\bar{z}-4i=0$ và $T$ là tập hợp tất cả các số phức $w$ có phần thực khác 0 sao cho $\frac{w}{w+6i}$ là số thực. Xét các số phức $z_1,z_2\in S$ và $w\in T$ thỏa mãn $|z_1-z_2|=2\sqrt{5}$ và $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}=\frac{\bar{w}-{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2-{\bar{z}}_1}$. Khi $|w-z_1|\cdot |w-z_2|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $|w-z_1|+|w-z_2|$ bằng

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có:
$iz\bar{z}+(1+2i)z-(1-2i)\bar{z}-4i=0⟺i(x^2+y^2)+2i(2x+y)-4i=0⟺x^2+y^2+4x+2y-4=0$
$⟺(x+2{)}^2+(y+1{)}^2=9$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z\in S$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=3$.

Đặt $w=u+vi$ ($u\ne 0$). Điều kiện $\frac{w}{w+6i}\in \mathbb{R}⟺w(w-6i)\in \mathbb{R}⟺u(v-6)-vu=0⟺-6u=0$, kết hợp tính chất ta suy ra điểm biểu diễn $M$ của $w$ thuộc trục hoành hoặc đường thẳng cố định.
Theo giả thiết $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}=\frac{\bar{w}-{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2-{\bar{z}}_1}$ chứng tỏ $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}\in \mathbb{R}$, suy ra ba điểm biểu diễn $M(w),A(z_1),B(z_2)$ thẳng hàng.
Do $|z_1-z_2|=AB=2\sqrt{5}$, khoảng cách từ tâm $I$ đến dây cung $AB$ là $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-5}=2$.
Khi tích $|w-z_1|\cdot |w-z_2|=MA\cdot MB=M{I}^2-R^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng chứa $w$, suy ra khoảng cách đạt cực tiểu.
Khi đó $|w-z_1|+|w-z_2|=4\sqrt{3}$.