Một bức tường cao $5m$ nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà $5m$. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Chiều dài tối thiểu của thang là $a\sqrt{2}m$. Hỏi $a$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang đến bức tường ($x>0$). Thang chạm đỉnh bức tường cao $5m$ tại điểm cách tòa nhà $5m$. Theo tam giác đồng dạng, chiều cao điểm chạm tòa nhà là $h=\frac{5(x+5)}{x}$. Chiều dài thang: $L(x)=\sqrt{(x+5{)}^2+{\left(\frac{5(x+5)}{x}\right)}^2}=(x+5)\sqrt{1+\frac{25}{x^2}}$. Đặt $f(x)=L^2=(x+5{)}^2\left(1+\frac{25}{x^2}\right)$. Khảo sát: $f^{\prime }(x)=2(x+5)\left(1+\frac{25}{x^2}\right)+(x+5{)}^2\left(-\frac{50}{x^3}\right)=\frac{2(x+5)}{x^3}\left(x^3-125\right)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=5$. Khi đó $L(5)=10\sqrt{1+1}=10\sqrt{2}m$ là giá trị nhỏ nhất (vì $f$ giảm trên $(0;5)$ và tăng trên $(5;+\infty )$). Vậy $a\sqrt{2}=10\sqrt{2}\Rightarrow a=10$, khớp với đáp án nguồn.