Một nhóm học sinh được chia vào 4 tổ, mỗi tổ có 3 học sinh. Chọn ra ngẫu nhiên từ nhóm đó 4 học sinh. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) "Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau";

b) "Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau".

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có $4\times 3=12$ học sinh, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=495$.

a) Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau: từ mỗi tổ chọn đúng 1 bạn, có $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81$ cách.
Vậy $P(A)=\frac{81}{495}=\frac{9}{55}$.

b) Bốn bạn thuộc đúng 2 tổ khác nhau: chọn 2 tổ trong 4 tổ, có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ cách. Với mỗi cặp tổ (mỗi tổ có 3 học sinh), 4 bạn được chọn phải đến từ cả hai tổ, các phân bổ khả dụng là $(1,3),(2,2),(3,1)$:
- $(1,3)$: chọn 1 bạn từ tổ thứ nhất và cả 3 bạn từ tổ thứ hai: $3\cdot 1=3$ cách;
- $(2,2)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=9$ cách;
- $(3,1)$: $1\cdot 3=3$ cách.

Mỗi cặp tổ có $3+9+3=15$ cách. Tổng: $6\cdot 15=90$ cách.
Vậy $P(B)=\frac{90}{495}=\frac{2}{11}$.

Kiểm tra bằng cách đếm theo số tổ: 4 tổ: $81$; 3 tổ (phân bổ $(2,1,1)$): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 3\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot 3\cdot 3=4\cdot 81=324$; 2 tổ: $90$; 1 tổ: $0$. Tổng $81+324+90=495=n(\Omega )$ ✓.