Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ dài và góc theo tọa độ phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-3;-2)$, $\overrightarrow{BC}=(1;5)$. $\cos \widehat{ABC}=\frac{-3\cdot 1+(-2)\cdot 5}{\sqrt{13}\sqrt{26}}=\frac{-13}{13\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $\widehat{ABC}=135^{\circ }$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng được tưới là hình tròn tâm $I(30;40)$, bán kính $R=50$ m, tức tập hợp điểm $M$ thỏa $MI\le 50$. Kiểm tra điểm $A(60;81)$: $IA=\sqrt{(60-30{)}^2+(81-40{)}^2}=\sqrt{30^2+41^2}=\sqrt{900+1681}=\sqrt{2581}\approx 50,8$ m. Vì $\sqrt{2581}>50$ (do $2581>2500$), tức $IA>R$, nên điểm $(60;81)$ nằm ngoài vùng tròn bán kính 50 m. Kết luận: vòi phun KHÔNG thể phun nước tới địa điểm có tọa độ $(60;81)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $EM=EN$ với $E(x_E;4)$, $M(-4;\frac{15}{2})$, $N(0;\frac{19}{2})$:
$$(x_E+4{)}^2+{\left(4-\frac{15}{2}\right)}^2=x_E^2+{\left(4-\frac{19}{2}\right)}^2$$
$$(x_E+4{)}^2+\frac{49}{4}=x_E^2+\frac{121}{4}$$
$$8x_E+16=18\Rightarrow x_E=\frac{2}{8}=0,25.$$
Kết quả khớp với đáp số nguồn 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a}{2};0\right)$; $N$ đối xứng $C$ qua $D$ nên $N=2D-C=(-a;a)$.
a) Tam giác $MAD$ vuông tại $A$ nên $M{D}^2=A{D}^2+A{M}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}$. Đúng.
b) $M{N}^2={\left(-a-\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{9a^2}{4}+a^2=\frac{13a^2}{4}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Đúng.
c) $MD=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
d) $\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{12}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác MAD vuông tại A: MD² = AD² + AM² = a² + a²/4 = 5a²/4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với M(a/2;0), N(−a;a): MN² = 9a²/4 + a² = 13a²/4 nên MN = a√13/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
MD = a√5/2, không bằng a√3/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
|MN| = a√13/2, không bằng a√3/12.