Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$. Tiếp tuyến vuông góc với $\Delta :y=-\frac{1}{2}x+3$ (hệ số góc $-\frac{1}{2}$) nên có hệ số góc $a=2$. Giải $\frac{2}{(x_0+1{)}^2}=2\Rightarrow (x_0+1{)}^2=1\Rightarrow x_0=0$ hoặc $x_0=-2$. Vì hoành độ tiếp điểm âm nên $x_0=-2$; khi đó $f(-2)=\frac{-3}{-1}=3$. Tiếp tuyến: $y=2(x+2)+3=2x+7$, vậy $a=2,b=7$ và $T=a^2\cdot b=4\cdot 7=28$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-x+3}{x+1}=-x+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, và $y^{\prime }=-1-\frac{3}{(x+1{)}^2}$.

a) Giao điểm với trục tung: $x=0\Rightarrow y=3$, $y^{\prime }(0)=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4x+3$.

b) Giao điểm với trục hoành: $-x^2-x+3=0\iff x^2+x-3=0\iff x_0=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$. Với $x_0^2=3-x_0$ ta có $(x_0+1{)}^2=x_0+4$, suy ra $y^{\prime }(x_0)=-1-\frac{3}{x_0+4}=-\frac{x_0+7}{x_0+4}$. Rút gọn: với $x_0=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$: $y=\frac{\sqrt{13}-13}{6}x+\frac{7\sqrt{13}-13}{6}$; với $x_0=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$: $y=-\frac{13+\sqrt{13}}{6}x-\frac{13+7\sqrt{13}}{6}$.

c) Đường thẳng qua $A(1;-1)$: $y=k(x-1)-1$. Phương trình hoành độ tiếp điểm: $(k(x-1)-1)(x+1)=-x^2-x+3\iff (k+1)x^2-(k+4)=0$. Tiếp xúc khi $k=-4$ (khi đó $x=0$ là nghiệm kép). Kiểm tra: tiếp tuyến tại $x=0$ là $y=-4x+3$, và tại $x=1$ có $y=-1$, tức đi qua $A$. Vậy tiếp tuyến là $y=-4x+3$.

d) $y^{\prime }=-13\iff -1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=-13\iff (x+1{)}^2=\frac{1}{4}\iff x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$. Với $x=-\frac{1}{2}$: $y=\frac{13}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x$. Với $x=-\frac{3}{2}$: $y=-\frac{9}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x-24$.

Kiểm tra lại toàn bộ: ý a) đúng; ý b) các hệ số góc và cận đúng sau khi hợp lý hóa; ý c) phương trình bậc hai và điều kiện tiếp xúc đúng, tiếp tuyến thỏa đi qua $A$; ý d) hai tiếp tuyến đúng. Không có sai sót.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-6x$. Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0, tức là $4x^3-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$. Tại $x=0\Rightarrow y=0$, tiếp tuyến là $y=0$, trùng với trục hoành nên bị loại. Tại $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\Rightarrow y=-\frac{9}{4}$, tiếp tuyến là đường thẳng $y=-\frac{9}{4}$, song song với trục hoành. Do đó chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến thỏa mãn. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.