Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x-1}{x-1}$: tại $x=2$, $y=\frac{4-1}{2-1}=3$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$, nên $y^{\prime }(2)=-1$. Tiếp tuyến: $y=3-1(x-2)=-x+5$. Kiểm tra: đường thẳng $y=-x+5$ đi qua $(2;3)$ và có hệ số góc $-1$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$. Tiếp tuyến vuông góc với $\Delta :y=-\frac{1}{2}x+3$ (hệ số góc $-\frac{1}{2}$) nên có hệ số góc $a=2$. Giải $\frac{2}{(x_0+1{)}^2}=2\Rightarrow (x_0+1{)}^2=1\Rightarrow x_0=0$ hoặc $x_0=-2$. Vì hoành độ tiếp điểm âm nên $x_0=-2$; khi đó $f(-2)=\frac{-3}{-1}=3$. Tiếp tuyến: $y=2(x+2)+3=2x+7$, vậy $a=2,b=7$ và $T=a^2\cdot b=4\cdot 7=28$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x+2$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-3$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là $k=y^{\prime }(2)=3\cdot 2^2-3=12-3=9$. Vậy $k=9$, khớp với đáp án nguồn (12D).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2x$ nên $f^{\prime }(2)=4=a$. Tiếp tuyến: $y=4(x-2)+4=4x-4$, vậy $b=-4$. Do đó $a-b=4-(-4)=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-x+3}{x+1}=-x+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, và $y^{\prime }=-1-\frac{3}{(x+1{)}^2}$.

a) Giao điểm với trục tung: $x=0\Rightarrow y=3$, $y^{\prime }(0)=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4x+3$.

b) Giao điểm với trục hoành: $-x^2-x+3=0\iff x^2+x-3=0\iff x_0=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$. Với $x_0^2=3-x_0$ ta có $(x_0+1{)}^2=x_0+4$, suy ra $y^{\prime }(x_0)=-1-\frac{3}{x_0+4}=-\frac{x_0+7}{x_0+4}$. Rút gọn: với $x_0=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$: $y=\frac{\sqrt{13}-13}{6}x+\frac{7\sqrt{13}-13}{6}$; với $x_0=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$: $y=-\frac{13+\sqrt{13}}{6}x-\frac{13+7\sqrt{13}}{6}$.

c) Đường thẳng qua $A(1;-1)$: $y=k(x-1)-1$. Phương trình hoành độ tiếp điểm: $(k(x-1)-1)(x+1)=-x^2-x+3\iff (k+1)x^2-(k+4)=0$. Tiếp xúc khi $k=-4$ (khi đó $x=0$ là nghiệm kép). Kiểm tra: tiếp tuyến tại $x=0$ là $y=-4x+3$, và tại $x=1$ có $y=-1$, tức đi qua $A$. Vậy tiếp tuyến là $y=-4x+3$.

d) $y^{\prime }=-13\iff -1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=-13\iff (x+1{)}^2=\frac{1}{4}\iff x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$. Với $x=-\frac{1}{2}$: $y=\frac{13}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x$. Với $x=-\frac{3}{2}$: $y=-\frac{9}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x-24$.

Kiểm tra lại toàn bộ: ý a) đúng; ý b) các hệ số góc và cận đúng sau khi hợp lý hóa; ý c) phương trình bậc hai và điều kiện tiếp xúc đúng, tiếp tuyến thỏa đi qua $A$; ý d) hai tiếp tuyến đúng. Không có sai sót.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1: giải $f(x)=1\iff x^3-3x^2+1=1\iff x^2(x-3)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.
$y=f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
- Tại $x=0$: $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0$ → tiếp tuyến: $y=1$.
- Tại $x=3$: $f(3)=1$, $f^{\prime }(3)=27-18=9$ → tiếp tuyến: $y=9(x-3)+1=9x-26$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=1$ và $y=9x-26$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$: $y(1)=\frac{1}{3}+1-2+1=\frac{1}{3}$, đúng bằng tung độ điểm $M$. Đạo hàm $y^{\prime }=x^2+2x-2$ nên $y^{\prime }(1)=1+2-2=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{1}{3}+1\cdot (x-1)=x-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{3x-1}{x+5}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$. Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{3(x+5)-(3x-1)}{(x+5{)}^2}=\frac{16}{(x+5{)}^2}$. Đường thẳng $(d):y=-\frac{1}{4}x+7$ có hệ số góc $-\frac{1}{4}$, nên tiếp tuyến $(\Delta )$ vuông góc với $(d)$ có hệ số góc $k=4$. Giải $f^{\prime }(x)=4\iff \frac{16}{(x+5{)}^2}=4\iff (x+5{)}^2=4\iff x=-3$ hoặc $x=-7$ (đều thuộc TXĐ).
- Với $x_0=-3$: $y_0=\frac{-9-1}{2}=-5$, tiếp tuyến: $y=4(x+3)-5=4x+7$.
- Với $x_0=-7$: $y_0=\frac{-21-1}{-2}=11$, tiếp tuyến: $y=4(x+7)+11=4x+39$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $({\Delta }_1):y=4x+7$ và $({\Delta }_2):y=4x+39$.

Nguồn lời giải (trang 9) được viết cho điểm $A(2;5)$, khác với đề bài $A(2;3)$ trên trang 3: a) Ta có $f^{\prime }(x)=2x+1$; b) Tính được hệ số góc của tiếp tuyến $f^{\prime }(2)=5$; Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $A(2;5)$ là $y=f^{\prime }(2).(x-2)+5\iff y=5.(x-2)+5\iff y=5x-5$.