Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích vô hướng độ dài góc Oxyz (Toán học Lớp 12)

(VD-GQ4.2) Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;-1;2)$ ; $B(7;3;2)$. Gọi $M(0;b;c)$ là điểm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho tam giác $ABM$ vuông cân tại $A$. Tính $2b+3c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(1;1;-2)$; $\vec{b}=(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để $\left(\vec{a};\vec{b}\right)=60^{\circ }$. Số phần tử của $S$ là bao nhiêu?

Trong không gian có hai con chim bói cá đậu trên hai cành cây khác nhau để quan sát tìm mồi và hướng về một con cá trên mặt nước. Biết chim bói cá thứ nhất đứng yên ở vị trí $M$, chim bói cá thứ hai đứng yên ở vị trí $N$ và con cá nằm yên trên mặt nước phẳng lặng ở vị trí $P$ (tham khảo hình minh họa bên dưới). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho đơn vị trên mỗi trục là mét và biết $M(4;2;2),N(-4;3;3),P(a;b;c)$. Giả sử mặt nước trùng với mặt phẳng $(Oxy)$, góc $\widehat{MPN}=90^{\circ }$ và $a=2b$. Hãy tìm tọa độ điểm $P$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$ và $AB=3,AD=6,SA=6$. Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tọa độ $O$ trùng với $A$, các điểm $B,D,S$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ và các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài bằng 1.

Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $O(0;0;0)$ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm $A(896;2025;189)$ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $7,4\text{ (m/s)}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian, ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một điểm. Biết cường độ của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đều bằng $10\text{ N}$ và $(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})=60^{\circ }$; $(\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3})=90^{\circ }$; $(\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_1})=120^{\circ }$. Cường độ của lực tổng hợp tác động vào điểm trên bằng bao nhiêu Newton? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)