Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận xiên (Toán học Lớp 12)

a) Ta có $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$. Do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x-4)\right]=0$ nên đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-4$. Vậy mệnh đề đúng.
b) Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$. $$f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=1$. Vậy mệnh đề sai.
c) Hàm số $y={\log }_{2025}f(x)$ có tập xác định là $(-1;0)\cup (3;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln 2025}$ nên $y^{\prime }<0\iff f^{\prime }(x)<0\iff x\in (-1;0)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$, đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$, nên mệnh đề đúng.
d) Ta có $g^{\prime }(x)=e^{f(x)}.f^{\prime }(x)$. $$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Mà $g(0)=e^{f(0)}=1$, $g(1)=e^{f(1)}=\frac{1}{e}$, $g(3)=e^{f(3)}=1$ nên ${\max }_{x\in [0;3]}g(x)=g(0)=g(3)=1$. Vậy mệnh đề đúng.
a) Ta có $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$. Do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x-4)\right]=0$ nên đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-4$. Vậy mệnh đề đúng.
b) Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$. $$f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=1$. Vậy mệnh đề sai.
c) Hàm số $y={\log }_{2025}f(x)$ có tập xác định là $(-1;0)\cup (3;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln 2025}$ nên $y^{\prime }<0\iff f^{\prime }(x)<0\iff x\in (-1;0)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$, đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$, nên mệnh đề đúng.
d) Ta có $g^{\prime }(x)=e^{f(x)}.f^{\prime }(x)$. $$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=1\end{array}\right]$$ Mà $g(0)=e^{f(0)}=1$, $g(1)=e^{f(1)}=\frac{1}{e}$, $g(3)=e^{f(3)}=1$ nên ${\max }_{x\in [0;3]}g(x)=g(0)=g(3)=1$. Vậy mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao bể là 10 dm = 1 m, thể tích 5 m³ nên đáy có diện tích xy = 5, tức y = 5/x. Diện tích toàn phần (không nắp) gồm mặt đáy xy = 5 và bốn mặt bên có diện tích 2x·1 + 2y·1 = 2x + 2·(5/x) = 2x + 10/x. Vậy S(x) = 2x + 10/x + 5 với x > 0. Khi x → +∞, S(x) − (2x + 5) = 10/x → 0, nên tiệm cận xiên là y = 2x + 5, tức a = 2, b = 5. Do đó P = a² + b² = 4 + 25 = 29.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 3 (Phần II, câu 15): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng. b) Sai (tiệm cận xiên đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$ là $y=-x+1$). c) Sai ($(0;2)$ là điểm cực tiểu và $(2;-2)$ là điểm cực đại). d) Đúng (giao điểm của hai đường tiệm cận là $(1;0)$).