Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;1;1),B(1;2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $AB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;-2;1)$ và $(P):x-2y+z+1=0$. Tìm tọa độ hình chiếu $H$ của $A$ trên $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng qua $A(-4;1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x-y+3z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=9$. Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$.

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có tâm $I(0;1;-2)$ và bán kính bằng 5.

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B)>0$ thì xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra là

Cho hai biến cố $A$, $B$ thoả mãn $P(A)=0,4$; $P(B)=0,3$; $P(A|B)=0,25$. Khi đó, $P(B|A)$ bằng

Trong không $Oxyz$, cho điểm $A(1;3;-2)$ và mặt phẳng $(P):x+2y-3z-5=0$.

Người ta thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là $0,7$ . Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là $0,9$ . Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là $0,4$ .

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $2x$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x-2y+2z-2=0$ và $(Q):x-2y+2z+10=0$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Có hai cây sắt có độ dài $3m$ và $6m$. Người ta cắt cây sắt $6m$ ra thành hai cây lớn và bé để được ba cây trụ dùng để đặt một tấm năng lượng phẳng dạng hình tròn, có ba chân trụ là tam giác đều cạnh bằng $2m$. Hỏi cây sắt lớn cắt ra có độ dài bao nhiêu mét để mặt phẳng chứa tấm năng lượng hợp với phương ngang góc $45^{\circ }$ .

Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên một viên bi thứ nhất rồi không trả lại, sau đó rút tiếp viên bi thứ hai. Tính xác suất rút được một bi đỏ ở lần thứ hai; biết rằng lần thứ nhất đã rút được một bi đỏ. (Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình $MNEIF$ ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC=6$ m, chiều dài $CD=12$ m (hình vẽ bên). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4$ m; cung $EIF$ có hình dạng là một phần của cung Parabol có đỉnh $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và đi qua hai điểm $C$, $D$. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m${}^2$. Hỏi công ty cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;-2;0),B(2;0;3)$.

Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, trường THPT A có 60% học sinh lựa chọn khối D để xét tuyển đại học. Biết rằng, nếu một học sinh lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7 còn nếu học sinh không lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,8. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT A đã tốt nghiệp trong kì thi trên. Tính xác suất học sinh đó chọn khối $D$; biết học sinh này đã đỗ đại học.