Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(3;0;0),B(0;-1;0),C(0;0;2)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A,B,C$ có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm $P(1;1;-1)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;3)$ là

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;0;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ là

Phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;3)$, bán kính $R=4$ là

Bán kính mặt cầu tâm $A(0;2;1)$ và tiếp xúc mặt phẳng $(P):2x-y+3z+5=0$ bằng:

Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P(B)=0,6$; $P(A\cap B)=0,2$ thì $P(A|B)$ bằng:

Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P(A)=0,3$; $P(B)=0,6$; $P(A|B)=0,4$ thì $P(B|A)$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0;2;-1)$ và $B(3;2;-4)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z-6=0$.

Một lớp có $70\%$ học sinh là nữ. Tỉ lệ học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh giỏi là $35\%$, tỉ lệ học sinh nam đạt danh hiệu học sinh giỏi là $60\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp đó. Gọi $A$ là biến cố “Học sinh được chọn là nữ” và $B$ là biến cố “Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi”.

Giả sử hàm số $f(x)=e^x+\sin x$ có họ nguyên hàm $F(x)=a{e}^x+b\cos x+C$, trong đó $a,b\in \mathbb{R}$. Giá trị của biểu thức $P=a^{2}b$ là bao nhiêu?

Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Mặt phẳng $(\beta )$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$ và cách A một khoảng bằng 1. Khi đó mặt phẳng $(\beta )$ dạng $x-by+cz+d=0$, trong đó $b,c,d$ là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?

Hai bạn An, Bình cùng ném bóng rổ. Mỗi lần chỉ có một người ném với quy tắc như sau: Nếu ném trúng thì người đó sẽ ném tiếp, nếu ném trượt thì đến lượt người kia ném. Ở mọi lần ném bóng, xác suất An ném trúng đều là $0,4$ và xác suất Bình ném trúng đều là $0,6$. Hai bạn rút thăm để quyết định người ném bóng đầu tiên. Xác suất người được ném đầu tiên là An và xác suất người được ném đầu tiên là Bình cùng bằng $0,5$. Tìm xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình.

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Nhà bạn Minh cần làm một cái cửa có dạng như hình vẽ, nửa dưới là hình vuông, phần phía trên (phần tô đen) là một Parabol. Biết các kích thước $a=2,5m,b=0,5m,c=2m$. Biết số tiền để làm $1m^2$ cửa là 1 triệu đồng. Số tiền để cửa là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn 1 số thập phân sau dấu phẩy)?

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình $z=0$, đồng thời thuộc mặt cầu có $(S):{\left(x-32\right)}^2+{\left(y-50\right)}^2+{\left(z-10\right)}^2=109$ (đơn vị độ dài tính theo mét). Gọi J là hình chiếu vuông góc của tâm I mặt cầu trên mặt sân.



a) Tìm tâm, bán kính mặt cầu.
b) Khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J bằng bao nhiêu?

Tỷ lệ phế phẩm của một công ty là 10\%. Trước khi đưa ra thị trường, các sản phẩm được kiểm tra bằng máy nhằm loại bỏ phế phẩm. Xác suất để máy nhận biết đúng chính phẩm là 95\%, nhận biết đúng phế phẩm là 90\%.
a) Tìm kết quả chính phẩm kết luận sai.
b) Tính tỉ lệ phế phẩm của công ty trên thị trường.