Cho các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-1-2i|+|z-5-2i|$ bằng

Theo đề bài:
$5w=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i=(2+i)z-8+i$.
Lấy môđun hai vế:
$5|w+i|=|(2+i)z-(8-i)|=|2+i|\cdot \left|z-\frac{8-i}{2+i}\right|=\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|$.
Mà $5|w+i|=5\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}$, do đó:
$\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|=3\sqrt{5}\iff |z-(3-2i)|=3$.
Gọi $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$, thì $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;-2)$ và bán kính $R=3$.

Biểu thức $P=|z-(1+2i)|+|z-(5+2i)|=MA+MB$ với $A(1;2)$ và $B(5;2)$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, suy ra $E(3;2)$ và $AB=4$.
Ta có $IE=\sqrt{(3-3{)}^2+(2-(-2){)}^2}=4>R=3$, nên $E$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.
Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác $MAB$:
$M{A}^2+M{B}^2=2M{E}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2M{E}^2+8$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P=MA+MB\le \sqrt{2(M{A}^2+M{B}^2)}=\sqrt{2(2M{E}^2+8)}=\sqrt{4M{E}^2+16}$.

Biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất khi $ME$ lớn nhất, tức $M,I,E$ thẳng hàng theo thứ tự $M-I-E$:
$M{E}_{\max }=IE+R=4+3=7$.
Khi đó:
$P_{\max }=\sqrt{4\cdot 7^2+16}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}=2\sqrt{53}$.