Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x-5)$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(x^2+m)$ có 3 điểm cực trị bằng

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x-5)$ đổi dấu tại $x=0$ (−→+) và $x=5$ (+→−), không đổi dấu tại $x=1$ (nghiệm kép). Với $g(x)=f(x^2+m)$: $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+m)$.
• $x=0$ là cực trị khi $g^{\prime }$ đổi dấu tại $0$. Nếu $f^{\prime }(m)\ne 0$ thì $g^{\prime }\sim 2x{f}^{\prime }(m)$ đổi dấu → cực trị. Nếu $f^{\prime }(m)=0$ phải xét bậc cao hơn.
• Các nghiệm khác: $x^2+m=0$ cho $x=\pm \sqrt{-m}$ (cực trị nếu $-m>0$, vì $f^{\prime }$ đổi dấu tại $0$); $x^2+m=5$ cho $x=\pm \sqrt{5-m}$ (cực trị nếu $5-m>0$); $x^2+m=1$ cho $x=\pm \sqrt{1-m}$ không cho cực trị vì $f^{\prime }$ không đổi dấu tại $1$.
Xét các giá trị nguyên:
– $m<0$: cực trị tại $0$ và $\pm \sqrt{-m},\pm \sqrt{5-m}$: 5 điểm.
– $m=0$: $g^{\prime }(x)=2x^3(x^2-1{)}^2(x^2-5)$, đổi dấu tại $x=0$ (số mũ 3 lẻ) và $x=\pm \sqrt{5}$; tại $\pm 1$ không đổi dấu → đúng 3 cực trị ✓.
– $0<m<1$: 5 điểm (không nguyên).
– $m=1$: $g^{\prime }(x)=2x(x^2+1)x^4(x^2-4)$, đổi dấu tại $x=0$ (do $f^{\prime }(1+\epsilon )>0$ với $\epsilon =x^2>0$ nhỏ) và tại $x=\pm 2$ → 3 cực trị ✓.
– $1<m<5$: cực trị tại $0$, $\pm \sqrt{5-m}$ → 3 điểm ✓.
– $m=5$: chỉ 1 cực trị tại $x=0$.
– $m>5$: 1 cực trị.
Vậy $m\in \{0,1,2,3,4\}$: 5 giá trị nguyên.