Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị hàm $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.

Hàm số $g(x)=f(x)+\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2x+3$ có bao nhiêu điểm cực trị?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm: đi từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$, cắt trục hoành tại $x=-1$, đạt cực tiểu bằng $-3$ (tại hoành độ khoảng $x\approx -0,5$), cắt trục tung tại $f^{\prime }(0)\approx -2$, đạt cực đại bằng $2$ tại $x=1$, cắt trục hoành tại $x=3$ rồi đi xuống $-\infty$.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+x^2-2x+2=f^{\prime }(x)+(x-1{)}^2+1$.
Xét dấu của $g^{\prime }$:
- Với $x\le 3$: trên đoạn $[-1;3]$, giá trị nhỏ nhất của $f^{\prime }$ là $-3$ (tại $x\approx -0,5$), trong khi $(x-1{)}^2+1\approx 3,25$ tại đó, nên $g^{\prime }>0$. Tại $x=-1$: $g^{\prime }=0+5=5>0$; tại $x=0$: $g^{\prime }\approx -2+2=0$; tại $x=1$: $g^{\prime }=2+1=3>0$; tại $x=3$: $g^{\prime }=0+5=5>0$. Như vậy trên $(-\infty ;3]$ thì $g^{\prime }(x)\ge 0$ (nếu $g^{\prime }(0)=0$ thì $g^{\prime }$ chỉ tiếp xúc với trục hoành, không đổi dấu vì $g^{\prime }>0$ hai bên).
- Với $x>3$: $f^{\prime }(x)<0$ và giảm về $-\infty$ theo cấp bậc ba, nhanh hơn mức tăng cấp bậc hai của $(x-1{)}^2+1$, nên $g^{\prime }(x)\to -\infty$. Vì $g^{\prime }(3)=5>0$, theo định lý giá trị trung gian $g^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm đúng một lần tại điểm $x_0>3$.
Vậy $g^{\prime }(x)$ dương trên $(-\infty ;x_0)$ (trừ có thể tiếp xúc tại $x=0$) và âm trên $(x_0;+\infty )$: $g$ có đúng $1$ điểm cực trị (cực đại tại $x_0$). Chọn C.