Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$, $SD$. Gọi $Q$ là giao điểm của $SA$ với $(MNP)$. Tính tỉ số $\frac{SQ}{SA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ tọa độ: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(0,0,2). Khi đó M(1,1/2,0), N(1/2,1,0), P(0,1/2,1). Vectơ pháp tuyến của (MNP): MN=(-1/2,1/2,0), MP=(-1,-1/2,1), nên n = MN×MP = (1/2,1/2,3/4). Mặt phẳng: (1/2)x+(1/2)y+(3/4)z = 3/4 (thay M). Điểm Q trên SA có dạng (0,0,2t) (t = SQ/SA tính từ S... thực chất t = AQ/AS với A gốc). Thay vào: (3/4)(2t)=3/4 ⟹ t=1/2, tức AQ = AS/2, do đó SQ = SA/2. Vậy SQ/SA = 1/2 = 0.5. Kiểm tra: MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN ∥ BD, kết quả phù hợp với cách dựng hình học thuần.