Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n+4\cdot 11^n}{11^{n+1}-3}$

b) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{49-x^2}{4x^2-31x+21}$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-\sqrt{5x^2+4}}{\sqrt{x^2+x}}$

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia tử và mẫu cho $11^n$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(3/11{)}^n+4}{11-3/11^n}=\frac{0+4}{11-0}=\frac{4}{11}$.

b) Tại $x=7$ cả tử và mẫu bằng 0 nên phân tích nhân tử: $49-x^2=(7-x)(7+x)$ và $4x^2-31x+21=(x-7)(4x-3)$. Do đó $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{(7-x)(7+x)}{(x-7)(4x-3)}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{-(7+x)}{4x-3}=\frac{-14}{25}$.

c) Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{5x^2+4}=|x|\sqrt{5+4/x^2}=-x\sqrt{5+4/x^2}$ và $\sqrt{x^2+x}=|x|\sqrt{1+1/x}=-x\sqrt{1+1/x}$. Chia tử và mẫu cho $x$ (lấy $-x$ ra khỏi căn):
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3+\sqrt{5+4/x^2}}{-\sqrt{1+1/x}}=\frac{3+\sqrt{5}}{-1}=-(3+\sqrt{5}).$$

Vậy: a) $\frac{4}{11}$; b) $-\frac{14}{25}$; c) $-(3+\sqrt{5})$.