Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-2}{x^2-5x+6}& \text{khi }x<2\\ m\sqrt{x^2+5}& \text{khi }x\ge 2\end{array}$ liên tục tại điểm $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(2)$.

**Giới hạn trái:** với $x<2$, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, do đó
$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{2-3}=-1.$$

**Giới hạn phải và giá trị tại điểm:**
$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=m\sqrt{2^2+5}=3m.$$

**Điều kiện liên tục:** $3m=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$.

Vậy $m=-\frac{1}{3}$ thì hàm số liên tục tại $x=2$.