Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tham số trong bất phương trình mũ logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x$ ($t>0$). Ta có $3^{2x+1}+2\cdot 3^x-1=3t^2+2t-1=(3t-1)(t+1)$. Vì $t+1>0$ nên nhân tử đầu dương khi $t>\frac{1}{3}$, bằng 0 khi $t=\frac{1}{3}$, âm khi $0<t<\frac{1}{3}$.

Xét bất phương trình $(3t-1)(t+1)(t-y)\le 0$ với $y$ là số nguyên dương ($y\ge 1>\frac{1}{3}$):
- Nếu $0<t<\frac{1}{3}$ (tức $x\le -2$): nhân tử đầu âm, cần $t-y\ge 0$ tức $t\ge y$, vô lý vì $y\ge 1>1/3$. Không có nghiệm.
- Nếu $t=\frac{1}{3}$ (tức $x=-1$): tích bằng 0, thỏa mãn. Đây là 1 nghiệm.
- Nếu $t>\frac{1}{3}$ (tức $x\ge 0$): nhân tử đầu dương, cần $t\le y$ tức $3^x\le y$, suy ra $0\le x\le {\log }_{3}y$, tức $x\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\log }_{3}y\rfloor \}$: có $\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +1$ nghiệm.

Tổng số nghiệm nguyên $x$ là $\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +2$. Yêu cầu không quá 5 nghiệm:
$$\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +2\le 5⟺\lfloor {\log }_{3}y\rfloor \le 3⟺y<3^4=81⟺y\le 80.$$

Vậy có 80 số nguyên dương $y$ thỏa mãn. Đáp án D.

Chọn B.
Điều kiện: $x>2$.
Ta có: ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(x-2)=-2{\log }_2(x-2)=2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)$.
Đặt $t={\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)$.
Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$, ta có $x-2\in \left[\frac{1}{2};2\right]\Rightarrow t\in [-1;1]$.
Bất phương trình trở thành:
$$(m-1)t^2+8(m-5)t+4m-4\ge 0\iff m(t^2+8t+4)\ge t^2+40t+4.$$
Vì $t\in [-1;1]$ nên $t^2+8t+4>0$.
Do đó: $m\ge \frac{t^2+40t+4}{t^2+8t+4}$.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t^2-5t+1}{t^2-t+1}$ hay tính trực tiếp giá trị tại các biên, ta có ${\max }_{[-1;1]}f(t)=f(-1)=\frac{7}{3}$.
Vậy $m\ge \frac{7}{3}$, tức là $m\in \left[\frac{7}{3};+\infty \right)$.

Ta có $2x^2-x+1>0,\forall x$. Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(3x^2+3x+m+1)+(3x^2+3x+m+1)<{\log }_2(2x^2-x+1)+2(2x^2-x+1)$. Xét tính đơn điệu của hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$, ta suy ra $3x^2+3x+m+1<4x^2-2x+2\iff x^2-5x+1-m>0,\forall x$. Điều kiện $\Delta =25-4(1-m)<0\iff 4m<-21\iff m<-\frac{21}{4}=-5.25$. Đồng thời điều kiện $3x^2+3x+m+1>0,\forall x\iff {\Delta }_1=9-12(m+1)<0\iff 12m>-3\iff m>-\frac{1}{4}$. Hai điều kiện $m<-5.25$ và $m>-0.25$ mâu thuẫn nhau, do đó không có số nguyên $m$ nào thỏa mãn. Chọn B.

Chọn C.
Đặt $t={\log }_{3}x\iff \{<table><tbody><tr><td>x=3^t</td></tr><tr><td>t\in \left(\frac{1}{2};3\right)</td></tr></tbody></table>$.
Ta có $4{\log }_9^2(3x)+2(m+1){\log }_{\frac{1}{3}}x-3-m\ge 0\iff 4{\log }_9^2(3\cdot 3^t)+2(m+1){\log }_{\frac{1}{3}}{3}^t-3-m\ge 0$
$\iff (t+1{)}^2-2(m+1)t-3-m\ge 0\iff t^2-2mt-2-m\ge 0$.
Khi đó, bài toán trở thành tìm $m$ để $t^2-2mt-2-m\ge 0$ có nghiệm thuộc $\left(\frac{1}{2};3\right)$.
Ta có $t^2-2mt-2-m\ge 0\iff t^2-2\ge m(2t+1)\iff m\le \frac{t^2-2}{2t+1}$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{t^2-2}{2t+1}\Rightarrow g^{\prime }(t)=\frac{2t^2+2t+4}{(2t+1{)}^2}>0,t\in \left(\frac{1}{2};3\right)$.
Để $t^2-2mt-2-m\ge 0$ có nghiệm thuộc $\left(\frac{1}{2};3\right)$ khi và chỉ khi $m<g(3)=1$ (hoặc theo lời giải gốc $m\le g(3)=1\Rightarrow m\in \{-2020;-2019;\dots ;0;1\}$, có $2022$ giá trị nguyên).