Biết nửa khoảng $S=[p^m;p^n)$ ($p,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) là tập tất cả các số thực $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ tồn tại đúng 6 số nguyên $x$ thỏa mãn $(3^{x^2-2x}-27)(5^{x^2}-y)\le 0$. Tổng $m+n+p$ bằng

Xét bất phương trình: $(3^{x^2-2x}-27)(5^{x^2}-y)\le 0$.
Ta có $3^{x^2-2x}-27=0\iff x^2-2x=3\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1\text{ hoặc }x=3$.

**Trường hợp 1:** $y<1$. Khi đó với mọi $x\in \mathbb{R}$, $5^{x^2}\ge 1>y\Rightarrow 5^{x^2}-y>0$.
Bất phương trình trở thành $3^{x^2-2x}-27\le 0\iff x^2-2x-3\le 0\iff -1\le x\le 3$.
Tập nghiệm này có $3-(-1)+1=5$ số nguyên (không thỏa mãn yêu cầu có đúng 6 số nguyên).

**Trường hợp 2:** $y>1$. Khi đó $5^{x^2}-y=0\iff x^2={\log }_{5}y\iff x=\pm \sqrt{{\log }_{5}y}$.
- Nếu $\sqrt{{\log }_{5}y}\le 3$, tập nghiệm gồm các đoạn không thể chứa nhiều hơn 5 số nguyên.
- Nếu $\sqrt{{\log }_{5}y}>3$, tập nghiệm của bất phương trình là:
$x\in \left[-\sqrt{{\log }_{5}y};-1\right]\cup \left[3;\sqrt{{\log }_{5}y}\right].$
Trong đoạn $[3;\sqrt{{\log }_{5}y}]$, số $x=3$ luôn là nghiệm.
Để tập nghiệm chứa đúng 6 số nguyên thì:
- Đoạn $[-1;3]$ ban đầu không nằm trọn trong nghiệm; tập nghiệm gồm 2 đoạn đối xứng chứa các số nguyên:
Bên phải: $x=3$ và các số tiếp theo $4,\dots$
Bên trái: $x=-1$ và các số tiếp theo $-2,-3,-4,\dots$
Tổng cộng đúng 6 số nguyên: bên trái có các số $\{-4,-3,-2,-1\}$ (4 số nguyên) và bên phải có $\{3,4\}$ (2 số nguyên), hoặc ngược lại.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$4\le \sqrt{{\log }_{5}y}<5\iff 16\le {\log }_{5}y<25\iff 5^{16}\le y<5^{25}.$
Do đó tập giá trị của $y$ là nửa khoảng $S=[5^{16};5^{25})$.
Theo đề bài $S=[p^m;p^n)$ với $p,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có:
$p=5,m=16,n=25.$
Vậy tổng $m+n+p=5+16+25=46$.

Chọn đáp án A.