Cho bất phương trình ${\log }_{0,5}(x+1{)}^2\le {\log }_{0,5}2x$, có tập nghiệm là $S=(a;b)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{0,5}(x+1{)}^2\le {\log }_{0,5}2x$ với cơ số $0,5<1$ nên đảo chiều: $(x+1{)}^2\ge 2x\iff x^2+1\ge 0$, luôn đúng. Điều kiện xác định: $2x>0$ và $(x+1{)}^2>0\iff x>0$. Vậy $S=(0;+\infty )$, tức $a=0$, $b=+\infty$. a) $a=0$ đúng. b) $(0;+\infty )\cap (3;2024)=(3;2024)$ đúng. c) Đỉnh parabol $y=x^2+2$ là $(0;2)$, không phải $A(0;0)$, sai. d) ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\right)=0\ne 3$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm $S=(0;+\infty )$ nên $a=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(3;2024)\subset (0;+\infty )$ nên giao bằng $(3;2024)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=x^2+2$ là $(0;2)$, không phải $(0;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$, mỗi số hạng tiến về 0 nên giới hạn bằng 0, không phải 3.