Cho hai hình chữ nhật $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng $AC$ và $BF$ vuông góc với nhau. Gọi $CH$ và $FK$ lần lượt là đường cao của hai tam giác $BCE$ và $ADF$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(b;0;0)$, hình chữ nhật $ABCD$ trong mặt phẳng $z=0$: $D=(0;d;0)$, $C=(b;d;0)$; hình chữ nhật $ABEF$ trong mặt phẳng $y=0$: $E=(0;0;e)$, $F=(b;0;e)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(b;d;0)$, $\overrightarrow{BF}=(0;0;e)$ nên $AC\perp BF$ luôn đúng (điều kiện đề tự động thỏa).

a) Đường cao $CH$ của tam giác $BCE$: chân trên $BE$, $\overrightarrow{BE}=(-b;0;e)$. Gọi $H=B+t\overrightarrow{BE}$, điều kiện $\overrightarrow{CH}\perp \overrightarrow{BE}$ cho $t(b^2+e^2)=0\Rightarrow t=0$, tức $H\equiv B$ (vì $\overrightarrow{CB}=(0;d;0)\perp \overrightarrow{BE}$). Tam giác $ACH$ có $\overrightarrow{HA}=(-b;0;0)$, $\overrightarrow{HC}=(0;d;0)$ vuông góc tại $H$ → vuông. Đúng.

b) Tương tự, đường cao $FK$ của tam giác $ADF$ có chân $K\equiv A$ (vì $\overrightarrow{FA}=(0;0;-e)\perp \overrightarrow{AD}$). Tam giác $BFK$ vuông tại $B$ với $BK=b$, $BF=e$; hai cạnh góc vuông không nhất thiết bằng nhau nên không chắc vuông cân. Sai.

c) $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}=(b;0;0)$ và $\overrightarrow{BF}=(0;0;e)$ nên $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BF}=0$: $BF\perp AH$. Đúng.

d) $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}=(-b;0;0)$, $\overrightarrow{AC}=(b;d;0)$, tích vô hướng $=-b^2\ne 0$ nên $AC$ không vuông $BK$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chân đường cao từ $C$ xuống $BE$ trùng với $B$ (vì $CB\perp BE$), tam giác $ACH$ vuông tại $H$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chân đường cao từ $F$ xuống $AD$ trùng với $A$; tam giác $BFK$ vuông tại $B$ nhưng $BK=AB$ và $BF=BE$ không chắc bằng nhau nên không chắc vuông cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AH\equiv AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, còn $BF\perp (ABCD)$ (vì $BF\parallel BE\perp AB$ và $BF\perp BC$... thực tế $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BF}=0$), nên $BF\perp AH$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{AC}$ có tích vô hướng $-A{B}^2\ne 0$, nên $AC$ không vuông góc $BK$.