Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M(1;1)\in (C)$. Phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại điểm $M$ có dạng $y=ax+b$. Tính $T=2a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ nên $a=f^{\prime }(1)=-1$. Tiếp tuyến tại $M(1;1)$: $y=-(x-1)+1=-x+2$, vậy $b=2$. Do đó $T=2a+b=2(-1)+2=0$. Kiểm tra: đường thẳng $y=-x+2$ đi qua $(1;1)$ và có hệ số góc $-1$ trùng $f^{\prime }(1)$, thỏa mãn.