Cho hình bình hành $ABCD$, tâm $O$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và $P$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với gốc O: A=a, C=-a, B=b, D=-b (do O là tâm hình bình hành). P thỏa OP=-1/3 OA nên P=-a/3.
(a) OA+3OP = a+3(-a/3)=0. Đúng.
(b) AP = OP-OA = -a/3 - a = -4a/3; AC = -2a. Khi đó 3AP-3AC = -4a+6a = 2a ≠ 0. Sai.
(c) M=(a+b)/2, N=(-a-b)/2. Ta có PB = P-B = -a/3-b và NB = N-B = -a/2-3b/2. Kiểm tra PB = (2/3)NB: -a/3-b = (2/3)(-a/2-3b/2) = -a/3-b. Vậy B,P,N thẳng hàng, mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
(d) AC và BD cắt nhau tại O; MN có M và N đối xứng qua O nên MN đi qua O. Ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại O. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ OP=-1/3 OA suy ra OA+3OP=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
AP=-4/3 OA, AC=2OA nên 3AP-3AC=-4OA-6OA=-10OA≠0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với A=a, B=b, P=-a/3, N=-(a+b)/2 ta có PB=(2/3)NB nên B,P,N thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC và BD cắt tại O, MN đi qua O vì M,N đối xứng qua O, nên ba đường thẳng đồng quy tại O.