Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân trực tiếp và Newton Leibniz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$ (đúng theo định lý Newton-Leibniz). $F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên nếu $F(0)=3$ thì $F(2)=1\ne 5$ (sai). Nguyên hàm của $f(x)=a{x}^2+bx+c$ là $\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$, khẳng định c) đúng (với hằng số $C$ tùy ý). Về d): từ hai điều kiện ${\int }_0^{1}f=-\frac{7}{2}$ và ${\int }_0^{2}f=-2$ chỉ có 2 phương trình cho 3 ẩn $a,b,c$ nên không xác định được $f$, do đó không thể kết luận diện tích bằng 2; nói chung ${\int }_0^2|f(x)|dx\ne {\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ khi $f$ đổi dấu, nên khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz: $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ nên $F(2)=3-2=1\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int f(x)dx=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$; khẳng định đúng (bỏ qua hằng số $C$ tùy ý).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điều kiện chỉ cho 2 phương trình với 3 ẩn $a,b,c$ nên $f$ không xác định duy nhất; hơn nữa diện tích là ${\int }_0^2|f(x)|dx$ chứ không phải ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên không thể kết luận diện tích bằng 2.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân tại $x=2$: ${\int }_1^2(x^2-2x+3)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2+3x\right]}_1^2=\frac{14}{3}-\frac{7}{3}=\frac{7}{3}$; ${\int }_2^3(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_2^3=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=\frac{7}{3}+\frac{16}{3}=\frac{23}{3}$, nên $I=\frac{1}{2}\cdot \frac{23}{3}=\frac{23}{6}\approx 3.83$.

Ta có $f(x)=F^{\prime }(x)=2x$. a) ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(3)-F(0)=6-(-3)=9\ne 6$ (Sai). b) Giá trị trung bình trên $[0;3]$ là $\frac{9}{3}=3\ne 2$ (Sai). c) $F(x)-f(x)=x^2-2x-3=0⟺x=-1$ hoặc $x=3$ (Đúng). d) Diện tích hình phẳng là ${\int }_{-1}^3|x^2-2x-3|\mathrm{d}x=\frac{32}{3}$ (Đúng).

Ta có ${\int }_1^4\frac{1}{x(x^3+1)}\mathrm{d}x={\int }_1^4\left(\frac{1}{x}-\frac{x^2}{x^3+1}\right)\mathrm{d}x={\left(\ln |x|-\frac{1}{3}\ln |x^3+1|\right)|}_1^4=\ln 4-\frac{1}{3}\ln 65+\frac{1}{3}\ln 2=\frac{7}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln 5-\frac{1}{3}\ln 13$. Khi đó $a=\frac{7}{3},b=-\frac{1}{3},c=-\frac{1}{3}\Rightarrow P=a^2-4bc=\frac{49}{9}-4\cdot \frac{1}{9}=\frac{45}{9}=5$. Chọn B.