Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{1}{2}{\log }_2\frac{x}{4}+{\log }_{2}y=\frac{4-x{y}^2}{y^2}$. Khi $x+4y$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị $\frac{x}{y}$ bằng

Biến đổi giả thiết:
$\frac{1}{2}\left({\log }_{2}x-{\log }_{2}4\right)+{\log }_{2}y=\frac{4}{y^2}-x$
$\iff {\log }_{2}x-2+2{\log }_{2}y=\frac{8}{y^2}-2x$
$\iff {\log }_{2}x+2x=\frac{8}{y^2}-2{\log }_{2}y+2={\log }_2\left(\frac{4}{y^2}\right)+2\left(\frac{4}{y^2}\right).$

Xét hàm số đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+2t$ với $t>0$, có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+2>0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Do đó $f(x)=f\left(\frac{4}{y^2}\right)\iff x=\frac{4}{y^2}\iff x{y}^2=4$.

Khi đó biểu thức $P=x+4y=\frac{4}{y^2}+2y+2y\ge 3\sqrt[3]{\frac{4}{y^2}\cdot 2y\cdot 2y}=3\sqrt[3]{16}$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{4}{y^2}=2y\iff y^3=2\iff y=\sqrt[3]{2}$.

Khi đó $x=\frac{4}{y^2}=\frac{4}{(\sqrt[3]{2}{)}^2}=\frac{4}{\sqrt[3]{4}}=2\sqrt[3]{2}$.

Vậy tỉ số $\frac{x}{y}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=2$.