Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bất phương trình mũ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $81^x=3^{4x}$, bất phương trình trở thành $3^{x^2+3}<3^{4x}$. Do cơ số $3>1$ nên $x^2+3<4x\iff x^2-4x+3<0\iff 1<x<3$. Các nghiệm nguyên: $x=2$. Vậy có đúng 1 nghiệm nguyên.

a) Sai. Bất phương trình tương đương đương với bất phương trình $4^{-2x^2}<4^{-2}$. Ta có $16^{-x^2+1}<\frac{1}{16}\iff 4^{-2x^2+2}<4^{-2}\iff 4^{-2x^2}<4^{-4}\iff -2x^2<-4\iff \{\begin{array}{l}x>\sqrt{2}\\ x<-\sqrt{2}\end{array}$ (do $4>1$).

b) Sai. Bất phương trình tương đương với bất phương trình $-2x^2<4$ (bất phương trình tương đương đúng là $-2x^2<-4$).

c) Đúng. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{4}$ có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là $x=2$. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{16}$ có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là $x=2$.

d) Đúng. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{4}$ có tập nghiệm là $S=(a;b)\cup (c;d)$ thì $b+c=0$. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{4}$ có tập nghiệm là $(a;b)\cup (c;d)=\left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};+\infty \right)$ $\Rightarrow b+c=-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$.
a) Sai. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{16}\iff 4^{-2x^2+2}<4^{-2}\iff 4^{-2x^2}<4^{-4}\iff -2x^2<-4\iff \{\begin{array}{l}x>\sqrt{2}\\ x<-\sqrt{2}\end{array}$ (do $4>1$).
b) Sai. Bất phương trình tương đương với bất phương trình $-2x^2<4$ (không đúng, vì bất phương trình tương đương là $-2x^2<-4$).
c) Đúng. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{16}$ có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là $x=2$.
d) Đúng. $16^{-x^2+1}<\frac{1}{4}$ có tập nghiệm là $(a;b)\cup (c;d)=\left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};+\infty \right)$ $\Rightarrow b+c=-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến. Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 27={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$. Do hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$, bất phương trình tương đương $x\le -3$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-3]$, khớp đáp án B trong bảng (mã đề 112).

(AI giải đề cho tôi)
$2^{x^2-2x}\le 8=2^3\iff x^2-2x\le 3\iff x^2-2x-3\le 0\iff (x-3)(x+1)\le 0\iff -1\le x\le 3$. Vậy $[a;b]=[-1;3]$, $a=-1$, $b=3$, nên $b-2a=3-2(-1)=5$.

(AI giải đề cho tôi)
$2^{x^2-2x}-8\le 0\iff 2^{x^2-2x}\le 2^3\iff x^2-2x\le 3\iff x^2-2x-3\le 0\iff (x-3)(x+1)\le 0\iff -1\le x\le 3$. Vậy $[a;b]=[-1;3]$, suy ra $b-2a=3-2(-1)=5$, khớp với đáp án nguồn.

Chọn C
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+3}\le 8\iff 2x+3\ge -3\iff x\ge -3$.

Chọn A.
Ta có: $16^x+4^{x+1}-5\ge 0\iff (4^x{)}^2+4\cdot 4^x-5\ge 0$.
Đặt $t=4^x$ ($t>0$). Bất phương trình trở thành:
$t^2+4t-5\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}t\ge 1\\ t\le -5\end{array}\right]$ (loại $t\le -5$ vì $t>0$).
Với $t\ge 1\Rightarrow 4^x\ge 1\iff x\ge 0$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[0;+\infty )$.

Chọn D.
Vì cơ số $0<\frac{5}{7}<1$ nên bất phương trình đổi chiều:
${\left(\frac{5}{7}\right)}^{x^2-x+1}>{\left(\frac{5}{7}\right)}^{2x-1}\iff x^2-x+1<2x-1\iff x^2-3x+2<0\iff 1<x<2$.
Tập nghiệm là $S=(1;2)$, suy ra $a=1,b=2$.
Giá trị của biểu thức $A=2b-a=2(2)-1=3$.

25x - 6.5x + 5 \le 0 $\iff$ ( 5x ) - 6.5x + 5 \le 0 .
2

Đặt t = 5 x , t > 0 .
Bất phương trình có dạng t 2 - 6t + 5 \le 0 $\iff$ 1 \le t \le 5 $\Rightarrow$ 1 \le 5 x \le 5 $\iff$ 0 \le x \le 1

Vì $4^x>0$ và $2^{x-3}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $4^x+2^{x-3}+2>2>0$, suy ra bất phương trình $4^x+2^{x-3}+2<0$ vô nghiệm.

Ta có $2^{x-3}<{\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+1}\iff 2^{x-3}<2^{-2x-2}\iff x-3<-2x-2\iff 3x<1\iff x<\frac{1}{3}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$.