Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: Bernoulli/nhị thức (Toán học Lớp 12)

Một bài thi tốt nghiệp THPT có phần 2 trắc nghiệm đúng, sai. Có 4 câu hỏi, mỗi câu có 4 ý a, b, c, d. Ở mỗi ý, thí sinh cần lựa chọn đúng hoặc sai. Điểm tối đa cho mỗi câu là 1,0 điểm. Thí sinh chọn chính xác 1 ý được 0,1 điểm; thí sinh chọn chính xác 2 ý được 0,25 điểm; thí sinh chọn chính xác 3 ý được 0,5 điểm; thí sinh chọn chính xác 4 ý được 1,0 điểm. Một thí sinh đã lựa chọn chính xác 2 ý của cả 4 câu. Hai ý còn lại của cả 4 câu đều khó đối với thí sinh đó, nên thí sinh đó chọn một cách ngẫu nhiên đúng hoặc sai. Xác suất để thí sinh này được đúng 2,0 điểm ở phần 2 này là $\frac{a}{b}$; $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tổng $a+b$ bằng

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, ta có
$$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots +n{C}_n^n=n.2^{n-1}$$

b) Trong một bài kiểm tra thường xuyên với thang điểm 10, đề kiểm tra gồm có 25 câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Để hạn chế việc học sinh không biết mà vẫn chọn đáp án, “mỗi câu chọn đúng được 0,4 điểm; chọn sai bị trừ 0,1 điểm”.

Giả sử có một học sinh làm chắc chắn đúng được 18 câu, các câu còn lại học sinh này chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để điểm toàn bài của học sinh này trên 8,5 điểm là bao nhiêu?

Trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng 1 có một điểm $P$ chuyển động (như hình bên). Khi gieo một con xúc xắc, nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì điểm $P$ chuyển động theo chiều kim đồng hồ một góc $60^{\circ }$, còn trong các trường hợp khác thì điểm $P$ chuyển động theo chiều ngược kim đồng hồ một góc $60^{\circ }$. Khi gieo xúc xắc 8 lần, xác suất để điểm $P$ trở về đúng vị trí ban đầu là $\frac{k}{3^5}$. Khi đó, giá trị của $k$ là bao nhiêu? (biết rằng $k$ là số tự nhiên).

Trong một trò chơi, có $20$ chiếc đèn được bố trí cách đều nhau trên một vòng tròn lớn (như hình vẽ). Khi người chơi bấm nút, hệ thống máy tính sẽ chọn ngẫu nhiên $3$ chiếc đèn để thắp sáng đồng thời. Nếu xuất hiện tam giác tạo bởi $3$ bóng đèn được thắp sáng là vuông hoặc cân thì người chơi được nhận một phần quà. Mỗi người chơi thực hiện $5$ lần bấm nút. Gọi $P$ là xác suất để một người chơi may mắn giành được đúng $1$ phần quà. Tính $10^4\cdot P$ (không làm tròn kết quả ở các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Câu 5. Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm $2025$ có môn thi bắt buộc là môn Toán. Cấu trúc đề thi môn toán gồm $22$ câu với ba phần như sau:
+ Phần 1: $12$ câu hỏi ở dạng thức trắc nghiệm nhiều lựa chọn, mỗi câu cho $04$ phương án trả lời trong đó có $01$ phương án là đáp án đúng;
+ Phần 2: $04$ câu hỏi ở dạng thức trắc nghiệm dạng Đúng/Sai. Mỗi câu hỏi có $04$ ý, tại mỗi ý thí sinh lựa chọn đúng hoặc sai;
+ Phần 3: $06$ câu hỏi ở dạng thức trắc nghiệm dạng trả lời ngắn. Thí sinh ghi và tô vào các ô tương ứng với đáp án của mình.
Phần 1: Mỗi câu trả lời đúng được $0,25$ điểm
Phần 2: + Chỉ lựa chọn chính xác $01$ ý trong $01$ câu hỏi được $0,1$ điểm;
+ Chỉ lựa chọn chính xác $02$ ý trong $01$ câu hỏi được $0,25$ điểm;
+ Chỉ lựa chọn chính xác $03$ ý trong $01$ câu hỏi được $0,5$ điểm;
+ Chính xác cả $04$ ý trong $01$ câu hỏi được $1$ điểm.
Phần 3: Mỗi câu trả lời đúng được $0,5$ điểm.
Giả sử một thí sinh do lười học nên không làm được môn toán. Phần 3 thí sinh không trả lời đúng câu nào. Phần 1 và phần 2 thí sinh tô bừa các đáp án. Nếu thí sinh tô phần 2 được tổng $0,55$ điểm. Khi đó xác suất của $12$ câu tô bừa ở phần 1 để tổng điểm bài làm môn toán của thí sinh được trên $3$ điểm là $x\cdot 10^{-8}$. Tổng các chữ số phần nguyên của $x$ bằng bao nhiêu?