Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: hệ ba ẩn (Toán học Lớp 10)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}2x+y+3z=1450(1)\\ x+2y+z=1050(2)\\ 3x+2z=1100(3)\end{array}$$
Lấy $(2)+(3)-(1)$, ta được phương trình: $2x+y=700$ (4).
Thay (4) vào (1), ta được phương trình $700+3z=1450\iff 3z=750\iff z=250$ (nhận).
Thay $z=250$ vào (1), (2), ta được hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x+2y+250=1050\\ 3x+500=1100\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+2y=800\\ 3x=600\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=200\\ y=300\end{array}(\text{nhận})$$
Vậy $x+y+z=200+300+250=750$.
Chọn đáp án A

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $$\{\begin{array}{l}{x}^3-y^3-8x-2y=0(1)\\ x^2-3y^2-6=0(2)\end{array}$$

TH1: $y=0$. Từ (2) suy ra $x^2=6$. Thay vào (1): $x^3-8x=x(x^2-8)=0$, mà $x^2=6\ne 8$, vô lý. Vậy $y\ne 0$.

TH2: $y\ne 0$. Đặt $x=ky$ với $k\ne 0$.

Từ (2): $(k^2-3)y^2=6$, nên cần $k^2>3$ và $y^2=\frac{6}{k^2-3}$.

Từ (1): $y^3(k^3-1)-2y(4k+1)=0\Rightarrow y^2(k^3-1)=2(4k+1)$ (do $y\ne 0$).

Thay $y^2$: $$\frac{6(k^3-1)}{k^2-3}=2(4k+1)\Rightarrow 3(k^3-1)=(4k+1)(k^2-3)$$
$$\Rightarrow 3k^3-3=4k^3+k^2-12k-3\Rightarrow k^3+k^2-12k=0\Rightarrow k(k+4)(k-3)=0$$

- $k=0$: loại vì cần $k^2>3$.
- $k=3$: $y^2=\frac{6}{9-3}=1\Rightarrow y=\pm 1$, $x=3y$. Ta được $(x;y)=(3;1)$ và $(-3;-1)$. Kiểm tra: $27-1-24-2=0$ và $-27+1+24+2=0$ đều thỏa.
- $k=-4$: $y^2=\frac{6}{16-3}=\frac{6}{13}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{6}{13}}$, $x=-4y$. Ta được $(x;y)=\left(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)$ và $(x;y)=\left(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}}\right)$. Kiểm tra: $x^2-3y^2=16y^2-3y^2=13y^2=6$ ✓; $x^3-y^3-8x-2y=-65y^3+30y=y(30-65y^2)=y\left(30-65\cdot \frac{6}{13}\right)=y(30-30)=0$ ✓.

Kết luận: Hệ có bốn nghiệm:
$$(x;y)\in \left\{(3;1),(-3;-1),\left(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}}\right),\left(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)\right\}.$$

Khi máy bay đến Sân bay Đà Nẵng: $x=16,1;y=108,2$. Ta có
$$\{\begin{array}{l}16,1=10,8+\frac{106}{25}t\\ 108,2=106,7+\frac{6}{5}t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{5}{4}\\ t=\frac{5}{4}\end{array}\iff t=\frac{5}{4}\text{giờ}=1\text{giờ}15\text{phuˊt}.$$
Vậy máy bay đến Đà Nẵng lúc 14 giờ 45 phút.
Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, tọa độ của máy bay là
$$\{\begin{array}{l}x=10,8+\frac{106}{25}.1=15,04\\ y=106,7+\frac{6}{5}.1=107,9\end{array}$$
Tức máy bay đã bay qua vĩ tuyến $15^{\circ }$ Bắc rồi.

Cách 1. Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ ba, ta thu được
$$3x^2-3z^2=0,$$
dẫn đến $z=x$ (do $x>0$, $z>0$).

Thế $z=x$ thì phương trình đầu tiên trở thành $x^2-12x+2y^2-6y=0$, còn phương trình thứ hai trở thành $3x^2-24x-12y=0$.

Do đó $y=\frac{x^2-8x}{4}$. Thế ngược lại vào phương trình đầu tiên, ta có
$$x^2-12x+2\cdot \frac{(x^2-8x{)}^2}{16}-6\cdot \frac{x^2-8x}{4}=0$$
$$\iff 8x^2-96x+x^4-16x^3+64x^2-12x^2+96x=0$$
$$\iff x^4-16x^3+60x^2=0$$
$$\iff x^2(x^2-16x+60)=0$$
$$\iff x^2(x-6)(x-10)=0.$$

Vậy $x=6$ hoặc $x=10$. Với $x=6$ ta có $y=-3$, mâu thuẫn.
Với $x=10$ ta thu được $y=5$.

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được rằng bộ $(x;y;z)=(10;5;10)$ thoả mãn hệ phương trình đã cho.

Cách 2. Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ ba, ta thu được
$$3x^2-3z^2=0,$$
dẫn đến $z=x$ (do $x>0$, $z>0$).

Thế $z=x$ thì phương trình đầu tiên trở thành $x^2-12x+2y^2-6y=0$, còn phương trình thứ hai trở thành $3x^2-24x-12y=0$. Do đó
$$2\left(x^2-12x+2y^2-6y\right)-\left(3x^2-24x-12y\right)=0,$$
Suy ra $x^2=4y^2$, dẫn đến $x=2y$ (do $x>0$, $y>0$). Do đó $x=z=2y$.

Thay $z=2y$ và $x=2y$ vào phương trình đầu tiên, ta được
$$6y^2-30y=0,$$
Suy ra $y=5$ do $y>0$.

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được rằng bộ $(x;y;z)=(10;5;10)$ thoả mãn hệ phương trình đã cho.

Định thức của hệ phương trình: $D=1\cdot 5-(-2)\cdot 1=7\ne 0$.
Do $D\ne 0$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (một nghiệm).

Cộng hai phương trình của hệ: $3x=m+1\Rightarrow x=\frac{m+1}{3}$.
Để $x=1\iff \frac{m+1}{3}=1\iff m+1=3\iff m=2$.

Vì $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{5}{10}$ nên hệ phương trình có vô số nghiệm. Chọn đáp án D.

Từ hệ phương trình ta tìm được $z_0=1$, $y_0=3-1=2$, $x_0=2+2-1=3$. Vậy $x_0\cdot y_0\cdot z_0=3\cdot 2\cdot 1=6$. Chọn đáp án B.

Ta có định thức $D=a+1-4=a-3$, $D_x=4(a+1)-4a=4\ne 0$. Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $D=0⟺a=3$. Vậy có duy nhất 1 giá trị của $a$. Chọn C.

Lời giải
Chọn A
\{2 x - y = x - y + 2
\{x = 2
\iff\{
Ta có: ( 2 x - y ) + ( 2 y + x ) i = ( x - y + 2 ) + ( x + y - 1) i \iff \{
.
\{2 y + x = x + y - 1
\{ y = -1

Chọn A.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có:
$2(x+yi)-3i(x-yi)+6+i=0\iff 2x+2yi-3xi-3y+6+i=0\iff (2x-3y+6)+(-3x+2y+1)i=0$.
Suy ra $\{\begin{array}{l}2x-3y+6=0\\ -3x+2y+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$.
Vậy phần ảo của số phức $z$ là $y=4$.

Gọi $x,y,z$ (nghìn đồng/kg) lần lượt là đơn giá của rau muống, bí xanh và cà chua. Theo giả thiết ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}19x+14y+10z=600\\ 20x+12y+8z=540\\ 25x+12y+7z=570\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=10\\ y=15\\ z=20\end{array}$. Số tiền thu được vào ngày Thứ Bảy là $50x+25y+20z=50\cdot 10+25\cdot 15+20\cdot 20=1275$ (nghìn đồng).

Ta có $z=z^{\prime }⟺\{\begin{array}{l}x-y+3=2x\\ 2y+1=2x-y+5\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x-3y=-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$.

Gọi $z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$).
Ta có $-(1+3i{)}^2=-(1+6i-9)=8-6i$.
Phương trình trở thành:
$(2-3i)(a+bi)+(4+i)(a-bi)=8-6i$
$\iff (2a+2bi-3ai+3b)+(4a-4bi+ai+b)=8-6i$
$\iff (6a+4b)+(-2a-2b)i=8-6i$
$\iff \{\begin{array}{l}6a+4b=8\\ -2a-2b=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3a+2b=4\\ a+b=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=5\end{array}$
Vậy $z=-2+5i$, có phần thực là $-2$ và phần ảo là $5$.