Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị biểu thức đại số có ràng buộc (Toán học Lớp 10, 11, 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $q=a^2+b^2+c^2$, $p=ab+bc+ca$. Vì $a+b+c=1$ nên $q+2p=1$, tức $p=\frac{1-q}{2}$. Với $a,b,c>0$, $a+b+c=1$: theo $(a+b+c{)}^2\le 3q$ ta có $q\ge \frac{1}{3}$; và $q<(a+b+c{)}^2=1$ (do $p>0$), nên $q\in \left[\frac{1}{3},1\right)$ và mọi giá trị trong khoảng này đều đạt được.

Khi đó
$$A=\frac{7}{q}+\frac{121}{14p}=\frac{7}{q}+\frac{121}{7(1-q)}=f(q).$$
Xét $f(q)=\frac{7}{q}+\frac{121}{7(1-q)}$ trên [1/3,1):
$$f^{\prime }(q)=-\frac{7}{q^2}+\frac{121}{7(1-q{)}^2}=0⟺121q^2=49(1-q{)}^2⟺11q=7(1-q)⟺q=\frac{7}{18}.$$
Vì $f^{\prime \prime }(q)=\frac{14}{q^3}+\frac{242}{7(1-q{)}^3}>0$ nên $f$ giảm trên [1/3,7/18) và tăng trên (7/18,1), do đó GTNN đạt tại $q=\frac{7}{18}$ (thuộc khoảng xác định):
$$A_{\min }=f\left(\frac{7}{18}\right)=7\cdot \frac{18}{7}+\frac{121}{7\cdot \frac{11}{18}}=18+\frac{121\cdot 18}{77}=18+\frac{198}{7}=\frac{324}{7}.$$

Kiểm tra giá trị đạt được: chọn $b=c=x$, $a=1-2x$ với $0<x<\frac{1}{2}$. Khi đó
$$q=(1-2x{)}^2+2x^2=1-4x+6x^2=\frac{7}{18}⟺108x^2-72x+11=0,$$
$$x=\frac{72\pm \sqrt{5184-4752}}{216}=\frac{72\pm 12\sqrt{3}}{216}=\frac{6\pm \sqrt{3}}{18}.$$
Cả hai giá trị đều thỏa $0<x<\frac{1}{2}$ (khi đó $a=\frac{6\mp 2\sqrt{3}}{18}>0$), nên $q=\frac{7}{18}$ đạt được.

Vậy $\min A=\frac{324}{7}$, đạt tại $(a,b,c)=\left(\frac{6\mp 2\sqrt{3}}{18},\frac{6\pm \sqrt{3}}{18},\frac{6\pm \sqrt{3}}{18}\right)$ và các hoán vị.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=a$, $AD=b$ với $ab=20m^2$. Đặt hệ trục tọa độ gốc tại $A$: $N$ thuộc $AD$ với $AN=x$, $M$ thuộc $AB$ với $AM=y$. Vì $AMHN$ là hình chữ nhật nên $H$ có tọa độ $(x;y)$ và $H$ thuộc đường chéo $BD$ có phương trình $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$. Diện tích miền trồng hoa là $S=xy$. Theo BĐT Cô-si: $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}\ge 2\sqrt{\frac{xy}{ab}}$, suy ra $1\ge 2\sqrt{\frac{S}{20}}$, tức $S\le 5m^2$. Dấu bằng khi $\frac{x}{b}=\frac{y}{a}=\frac{1}{2}$, tức $H$ là trung điểm $BD$ (thỏa điều kiện đề bài). Vậy diện tích lớn nhất là $5m^2$, số tiền lớn nhất là $5\times 50=250$ nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 250.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ dây gồm 4 đoạn dây bằng nhau từ các điểm A, B, C, D trên trần hội tụ tại điểm I trên trần, rồi đoạn dây IM thẳng đứng xuống đèn M. Vì M cách trần 60 cm và IM thẳng đứng nên IM = 60 cm cố định. Tổng chiều dài dây: L = IA + IB + IC + ID + 60. Do I nằm trong mặt phẳng trần, IA + IC ≥ AC và IB + ID ≥ BD (đẳng thức khi I là giao hai đường chéo, tức tâm hình chữ nhật). Với AB = 60, BC = 80, đường chéo AC = BD = √(60² + 80²) = 100 cm. Chọn I là tâm O của hình chữ nhật thì IA = IB = IC = ID = 50 cm, tổng 4 đoạn dây = 200 cm. Vậy L_min = 200 + 60 = 260 cm.

Phương trình biến đổi tương đương về hàm đặc trưng:
Đặt $u=x+4y$ và $v=xy-1$.
Ta thu được hệ thức liên hệ $xy-x-4y=1⟺(x-4)(y-1)=5$.
Vì $x,y>0$ nên $x>4,y>1$. Khi đó $y=1+\frac{5}{x-4}$.
Biểu thức $P=x+y=x+1+\frac{5}{x-4}=(x-4)+\frac{5}{x-4}+5$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $x-4$ và $\frac{5}{x-4}$:
$P\ge 2\sqrt{(x-4)\cdot \frac{5}{x-4}}+5=2\sqrt{5}+5=5+2\sqrt{5}$.
Dấu '=' xảy ra khi $x-4=\sqrt{5}⟺x=4+\sqrt{5}>0$ và $y=1+\sqrt{5}>0$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5+2\sqrt{5}$. Chọn B.

Chọn B.
Đặt $x={\log }_{2}a>0$, $y={\log }_{2}b>0$, $z={\log }_{2}c>0$.
Ta có ${\log }_{bc}2=\frac{1}{{\log }_2(bc)}=\frac{1}{y+z}$.
Giả thiết trở thành:
$$x\ge \frac{1-yz}{y+z}⟺x(y+z)+yz\ge 1.$$
Ta có $(y+z{)}^2\ge 4yz⟹yz\le \frac{(y+z{)}^2}{4}$, và $28(y^2+z^2)\ge 14(y+z{)}^2$.
Đặt $u=y+z>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $P=x^2+28(y^2+z^2)$ đạt được bằng 7 khi $y=z=\frac{1}{2}$ và $x=1$.

Ta có $a^4-25a^2+625=(a^2-25{)}^2+25a^2\ge (5a{)}^2$. Do $b>1$ và $5a>1$ tại điểm đạt cực trị nên $P\ge {\log }_{5a}b+{\log }_b(5a{)}^2={\log }_{5a}b+\frac{2}{{\log }_{5a}b}\ge 2\sqrt{2}$ (dấu bằng xảy ra khi $a=5$ và $b=25^{\sqrt{2}/2}$).

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)