Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khai triển nhị thức với số mũ nhỏ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhị thức Newton: $(x-2y{)}^5={\sum }_{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k})x^{5-k}(-2y{)}^k$.

Từng số hạng:
- $k=0$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)x^5=x^5$
- $k=1$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)x^4(-2y)=5\cdot (-2)x^{4}y=-10x^{4}y$
- $k=2$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)x^3(4y^2)=10\cdot 4x^3{y}^2=40x^3{y}^2$
- $k=3$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)x^2(-8y^3)=10\cdot (-8)x^2{y}^3=-80x^2{y}^3$
- $k=4$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)x(16y^4)=5\cdot 16x{y}^4=80x{y}^4$
- $k=5$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)(-32y^5)=-32y^5$

Vậy $(x-2y{)}^5=x^5-10x^{4}y+40x^3{y}^2-80x^2{y}^3+80x{y}^4-32y^5$.

Kiểm tra: thay $x=1,y=1$ thì $(1-2{)}^5=-1$; tổng hệ số $1-10+40-80+80-32=-1$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(a+b{)}^4$ có $4+1=5$ số hạng (từ $a^4$ đến $b^4$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo nhị thức Niu-tôn: $(x+1{)}^5={\sum }_{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k})x^{5-k}=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$ (các hệ số $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)=1,5,10,10,5,1$ đều dương). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra $(2x-1{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k(2x{)}^{5-k}(-1{)}^k$: hệ số lần lượt $32,-80,80,-40,10,-1$ khớp đúng $P(x)$. Loại A vì $(1-2x{)}^5$ có hệ số của $x^5$ là $-32$; loại B vì dấu dương; loại D vì bậc thấp nhất khác.

(AI giải đề cho tôi)
Nhị thức Newton: $(x-\frac{1}{x}{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}(-\frac{1}{x}{)}^k=\sum C_5^k(-1{)}^k{x}^{5-2k}$. Các số hạng: $k=0$: $x^5$; $k=1$: $-5x^3$; $k=2$: $+10x$; $k=3$: $-\frac{10}{x}$; $k=4$: $+\frac{5}{x^3}$; $k=5$: $-\frac{1}{x^5}$. Vậy khai triển là $x^5-5x^3+10x-\frac{10}{x}+\frac{5}{x^3}-\frac{1}{x^5}$, khớp với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sqrt[3]{2}$. Khai triển $(1+t{)}^4=1+4t+6t^2+4t^3+t^4$. Vì $t^3=2$ và $t^4=2t$, ta có $4t^3=8$ (gộp vào hằng số) và $t^4=2t$ (gộp vào hệ số của $t$). Vậy $(1+\sqrt[3]{2}{)}^4=9+6\sqrt[3]{2}+6\sqrt[3]{4}$, tức $a_1=6$, $a_2=6$, nên $a_1{a}_2=36$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 4 năm, số tiền (gốc + lãi) là $P=100(1+0,068{)}^4=100(1,068{)}^4$ triệu đồng. Khai triển $(1+0,068{)}^4=1+C_4^1\cdot 0,068+C_4^2\cdot 0,068^2+\dots$ Dùng hai số hạng đầu tiên: $(1+0,068{)}^4\approx 1+4\cdot 0,068=1,272$. Vậy $P\approx 100\cdot 1,272=127,2$ triệu đồng. (Kiểm tra: giá trị chính xác $1,068^4\approx 1,3010$ nên thực tế khoảng 130,1 triệu; xấp xỉ hai số hạng đầu cho 127,2 triệu.)

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển: $(x^2-3xy{)}^4={\sum }_{k=0}^4{C}_4^k(x^2{)}^{4-k}(-3xy{)}^k=x^8-12x^{7}y+54x^6{y}^2-108x^5{y}^3+81x^4{y}^4$. a) $a_1=1,a_2=-12$: đúng. b) Hệ số của $x^6{y}^2$ là $C_4^2\cdot (-3{)}^2=6\cdot 9=54$: đúng. c) Số hạng chứa $x^{7}y$ là $-12x^{7}y$ (âm), không phải $12x^{7}y$: sai. d) Tổng hệ số các số hạng có lũy thừa của $x$ nhỏ hơn 7: $54+(-108)+81=27\ne 243$: sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ Đ S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát: $C_4^k(x^2{)}^{4-k}(-3xy{)}^k$. Với $k=0$: $x^8\Rightarrow a_1=1$; với $k=1$: $4\cdot (-3)x^{7}y=-12x^{7}y\Rightarrow a_2=-12$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=2$: $C_4^2\cdot (-3{)}^2=6\cdot 9=54$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^{7}y$ là $-12x^{7}y$, không phải $12x^{7}y$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số hạng có lũy thừa của $x$ nhỏ hơn 7: $54x^6{y}^2-108x^5{y}^3+81x^4{y}^4$, tổng hệ số $=54-108+81=27\ne 243$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo khai triển nhị thức Newton: $(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$. Số hạng thiếu có dạng $a^{3}b$ với hệ số $C_4^1=4$, nên dấu (...) điền $4a^{3}b$. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-4{)}^9$ có $9+1=10$ số hạng (k với $k=0,1,\dots ,9$).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-4{)}^9$ có số số hạng bằng $9+1=10$ (các số hạng ứng với $k=0,1,\dots ,9$). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-4{)}^9$ có các số hạng ứng với $k=0,1,\dots ,9$, tức là $9+1=10$ số hạng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-1{)}^{27}$ theo nhị thức Newton có số hạng dạng $C_{27}^k{x}^{27-k}(-1{)}^k$ với $k=0,1,\dots ,27$, tức số mũ của $x$ chạy từ 27 xuống 0. Vậy số số hạng là $27+1=28$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-1{)}^{27}$ theo nhị thức Newton có $27+1=28$ số hạng, vì số mũ của $x$ chạy từ 0 đến 27. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(a+b{)}^n$ có $n+1$ số hạng. Với $(2x+3{)}^{11}$, $n=11$ nên số số hạng là $11+1=12$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-1{)}^{27}$ theo nhị thức Newton có số số hạng bằng $27+1=28$ (số mũ của $x$ chạy từ 0 đến 27). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-4{)}^9$ có số số hạng bằng $n+1=9+1=10$ (các số hạng ứng với $k=0,1,\dots ,9$). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-4{)}^9$ có $9+1=10$ số hạng (khi $k=0,1,\dots ,9$).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x-4{)}^9$ có số số hạng bằng $9+1=10$ (tương ứng $k=0,1,\dots ,9$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.