Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phân tích vectơ và chứng minh đẳng thức (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$. Suy ra $3MG=6\Rightarrow MG=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CM=2MB$ nên $M$ nằm giữa $B,C$ với $MB=\frac{1}{3}BC$, tức $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$ (cùng hướng từ $C$ đến $B$). Do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Vậy đáp án đúng là C. (Kiểm tra: khi $M$ gần $B$ thì hệ số của $\overrightarrow{AB}$ gần 1, phù hợp vì $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $\frac{MB}{BC}=\frac{1}{3}$ nên hệ số của $\overrightarrow{AB}$ là $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.)

$$\overrightarrow{VT}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{VP}(dpcm)$$
Không chấm hình vẽ HS

a) Ta có: $\vec{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (0.5 điểm). $\Rightarrow \left|\vec{a}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=2a$ (0.5 điểm). b) $\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{BH}\iff \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=5(\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AB})\iff \overrightarrow{AH}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$ (0.25 điểm). $\overrightarrow{BK}=3\overrightarrow{BI}\iff \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=3(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB})\iff \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ (0.25 điểm). Ta có: $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$. (0.25 điểm) Vậy ba điểm $A,I,H$ thẳng hàng. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: vì O là giao hai đường chéo nên O là trung điểm AC và BD, suy ra OA+OC=0 và OB+OD=0, do đó OA+OB+OC+OD=0. b) Đúng: trong hình bình hành ABCD, quy tắc hình bình hành tại B cho BA+BC=BD. c) Sai: đặt O làm gốc, ta có A=-C, B=-D. Trọng tâm tam giác ABD là G=(A+B+D)/3=(A+B-B)/3=A/3=-C/3. Khi đó GB+GC+GD=(B-G)+(C-G)+(D-G)=B+C+D-3G=-A+C+3(C/3)=-A+2C=3C=3OC, khác 4/3 OC nên khẳng định sai. d) Đúng: từ CM=3MD suy ra CM=(3/4)CD, do đó BM=BC+CM=BC+(3/4)CD. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC và BD nên OA+OC=0, OB+OD=0, tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: BA+BC=BD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc O: A=-C, B=-D, G=(A+B+D)/3=-C/3. Suy ra GB+GC+GD=B+C+D-3G=-A+2C=3OC ≠ 4/3 OC.
d) (AI giải đề cho tôi)
CM=3MD nên CM=(3/4)CD, do đó BM=BC+CM=BC+(3/4)CD.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
b) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
d) $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})$. Lại có $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$; $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$. Suy ra $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\right]=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$.

a) $\overrightarrow{IB}=-3\overrightarrow{IC}\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\Rightarrow$ a đúng. b) $\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}\Rightarrow$ b sai. c) $\overrightarrow{BK}$ và $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng, $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng $\Rightarrow \overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{BI}>0\Rightarrow$ c sai. d) $I$ nằm trong đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ ngược hướng $\Rightarrow$ d sai.