Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB$, $AC$, $A{A}^{\prime }$ đôi một vuông góc nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, tức chiều cao khối lăng trụ là $h=A{A}^{\prime }=3a$. Diện tích đáy tam giác vuông tại $A$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=a^2\cdot 3a=3a^3$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$, chiều cao $SA=a\sqrt{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$ thỏa $A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$ nên vuông tại $A$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 24=32$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $(SAD)\perp (ABCD)$, giao tuyến của hai mặt bên là $SA$, nên $SA\perp (ABCD)$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot BC\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 2a\cdot a\sqrt{15}=\frac{2a^3\sqrt{15}}{3}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$), $SC=a\sqrt{5}$, nên $SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{5a^2-2a^2}=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $BA=BC=a$ nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên chiều cao của chóp là $SA=2a$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot 2a=\frac{a^3}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Đúng.
b) $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$. Vì $PQ\parallel BC$ với $PQ=\frac{BC}{2}$, tam giác $SPQ$ đồng dạng với $SBC$ tỉ số $\frac{1}{2}$ nên $V_{S.PQ\dot{.}.}$ tức $V_{S.APQ}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2{V}_{S.ABC}=\frac{V}{4}$ (cùng đỉnh A, đáy thu nhỏ theo tỉ số 1/2). Do đó $V_{A.BCQP}=V_{S.ABC}-V_{S.APQ}=\frac{3}{4}\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{24}=\frac{a^3\sqrt{3}}{32}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$. Sai.
c) $V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$. Sai.
d) Gọi H là trung điểm BC, khi đó $AH\perp BC$ và $SA\perp (ABC)$ nên $SH\perp BC$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SHA}$. Với $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $SA=\frac{a}{2}$: $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên góc bằng $30^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh a có diện tích $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$; $V_{S.APQ}=\frac{V}{4}$ nên $V_{A.BCQP}=\frac{3V}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{32}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SHA}$ với H trung điểm BC; $\tan \widehat{SHA}=\frac{a/2}{a\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên góc bằng $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a√2).
a) Sai. Vì BD⊥AC (hình vuông) và BD⊥SA nên BD⊥(SAC). Mặt khác BD⊂(SBD) nên góc giữa (SAC) và (SBD) bằng góc giữa BD và (SAC), tức góc giữa BD và AC bằng 90°, không phải 60°.
b) Đúng. SA⊥(ABCD) nên CA là hình chiếu của SC lên (ABCD), do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA.
c) Đúng. V = (1/3)·S_ABCD·SA = (1/3)·a²·a√2 = a³√2/3.
d) Sai. Mặt phẳng (SCD) có phương trình √2·y + z = √2·a (qua C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a√2)). Với O(a/2, a/2, 0): d(O,(SCD)) = |√2·a/2 − √2·a|/√3 = (a√2/2)/√3 = a√6/6 ≠ a√6/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥(SAC) nên góc giữa (SAC) và (SBD) bằng góc giữa BD và AC = 90°, không phải 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) nên CA là hình chiếu của SC trên (ABCD), góc cần tìm là SCA.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·a²·a√2 = a³√2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
(SCD): √2·y + z = √2·a; d(O,(SCD)) = a√6/6, không phải a√6/3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy nhỏ là $x$ (m), cạnh đáy lớn là $2x$. Diện tích hai đáy: $S^{\prime }=x^2$, $S=4x^2$. Thể tích chóp cụt: $V=\frac{h}{3}(S+S^{\prime }+\sqrt{S{S}^{\prime }})=\frac{6}{3}(4x^2+x^2+2x^2)=2\cdot 7x^2=14x^2$. Theo đề $14x^2=4200\Rightarrow x^2=300\Rightarrow x=10\sqrt{3}$. Vậy cạnh đáy lớn là $2x=20\sqrt{3}$ (m) $\approx 34,64$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ đều cạnh $a=2$ nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Tâm đáy $G$ với $GA=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Chiều cao $h=S{A}^2-G{A}^2$ cho $h=\sqrt{9-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{23}{3}}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{23}{3}}=\frac{\sqrt{23}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\cdot \sin 150^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3{\text{cm}}^2$. Thể tích lăng trụ đứng: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot 5=15{\text{cm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thang cân với $AB\parallel CD$, $AB=2$, $CD=1$, $AD=BC=1$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$, $K$ là trung điểm $CD$ thì $HK$ là chiều cao hình thang: $HK=\sqrt{A{D}^2-{\left(\frac{AB-CD}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot HK=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và tam giác $SAB$ cân đỉnh $S$ nên đường cao $SM$ (với $M$ là trung điểm $AB$) vừa vuông $AB$ vừa nằm trong $(SAB)$, do đó $SM\perp (ABCD)$; chiều cao khối chóp là $h=SM$.

Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $M(1;0;0)$, $S(1;0;h)$, $D\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$ qua $B(2;0;0)$ với vectơ $\overrightarrow{BS}=(-1;0;h)$, $\overrightarrow{BC}=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BC}=\left(-\frac{h\sqrt{3}}{2};-\frac{h}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, chọn $\vec{n}=(h\sqrt{3};h;\sqrt{3})$. Phương trình: $h\sqrt{3}(x-2)+hy+\sqrt{3}z=0$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$: $d(A,(SBC))=\frac{2h\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2+3}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$.

Suy ra $\frac{3h^2}{4h^2+3}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\Rightarrow 15h^2=12h^2+9\Rightarrow h^2=3\Rightarrow h=\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy, $M$ trung điểm $AB$. Góc giữa mặt bên và đáy là $\widehat{SMO}=60^{\circ }$. Đặt cạnh đáy $x$, chiều cao $h=SO$.
Ta có $OM=\frac{x}{2}$, $OA=\frac{x\sqrt{2}}{2}$, và $SM\cos 60^{\circ }=OM\Rightarrow SM=\frac{x}{2\cos 60^{\circ }}=x$.
Mặt khác $S{M}^2=S{O}^2+O{M}^2\Rightarrow x^2=h^2+\frac{x^2}{4}\Rightarrow x^2=\frac{4h^2}{3}$.
Lại có $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2\Rightarrow 4a^2=h^2+\frac{x^2}{2}=h^2+\frac{2h^2}{3}=\frac{5h^2}{3}\Rightarrow h^2=\frac{12a^2}{5}$.
Thể tích: $V=\frac{1}{3}{x}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{4h^2}{3}\cdot h=\frac{4h^3}{9}=\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{12a^2}{5}\right)\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{32\sqrt{3}{a}^3}{15\sqrt{5}}$.
Vậy $m=32,n=15$ (tối giản), $P=m+n=47$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 8=16$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 7: $S=\frac{7^2\sqrt{3}}{4}=\frac{49\sqrt{3}}{4}$. Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{49\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{98\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 7a\cdot 3a=\frac{21}{2}{a}^2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của chóp, $SA=9a$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{21}{2}{a}^2\cdot 9a=\frac{189}{2}{a}^3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình vuông cạnh $CD=\sqrt{10}a$ nên $S_{ABCD}=(\sqrt{10}a{)}^2=10a^2$. Vì $SC\perp (ABCD)$ nên chiều cao khối chóp là $SC=\sqrt{7}a$. Do đó $V=\frac{1}{3}\cdot 10a^2\cdot \sqrt{7}a=\frac{10\sqrt{7}{a}^3}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $SB$ lên đáy là $AB$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\angle SBA=45^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $SA=AB\cdot \tan 45^{\circ }=2a$. Diện tích đáy tam giác đều cạnh $2a$ là $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}{a}^3$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy chữ nhật có $DC=\sqrt{10}a$, $DA=3a$ nên diện tích đáy $S_{ABCD}=\sqrt{10}a\cdot 3a=3\sqrt{10}{a}^2$. Vì $SD\perp (ABCD)$ nên $SD\perp DC$, tam giác $SDC$ vuông tại $D$: $S{D}^2=S{C}^2-D{C}^2=14a^2-10a^2=4a^2\Rightarrow SD=2a$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{10}{a}^2\cdot 2a=2\sqrt{10}{a}^3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=8\cdot 5=40$. Vậy đáp án B.