Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 9: $S=\frac{9^2\sqrt{3}}{4}=\frac{81\sqrt{3}}{4}$. Thể tích lăng trụ $V=S\cdot h=\frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot 2=\frac{81\sqrt{3}}{2}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy hình vuông cạnh $6a$ là $S=(6a{)}^2=36a^2$. Thể tích lăng trụ đứng $V=S\cdot h=36a^2\cdot 10a=360a^3$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lập phương cạnh $\sqrt{15}a$ là $V=(\sqrt{15}a{)}^3=15\sqrt{15}{a}^3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khối hộp chữ nhật có ba kích thước: $AB=2a$, $AD=A^{\prime }{B}^{\prime }=a$, $D{D}^{\prime }=5a$. Thể tích $V=AB\cdot AD\cdot D{D}^{\prime }=2a\cdot a\cdot 5a=10a^3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABC)$ là $A$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AM\perp BC$. Ta có $BC\perp AM$ và $BC\perp A{A}^{\prime }$ nên $BC\perp (A^{\prime }MA)$, do đó $BC\perp A^{\prime }M$. Vậy góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }MA}=30^{\circ }$.

Trong tam giác $A^{\prime }AM$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime }=AM\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2}$.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích khối lăng trụ:
$$V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h=A{A}^{\prime }$ là chiều cao khối lăng trụ. Vì là lăng trụ tam giác đều nên $A^{\prime }B=A^{\prime }C=\sqrt{a^2+h^2}$, tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ với đáy $BC=a$, đường cao từ $A^{\prime }$ xuống $BC$ bằng $\sqrt{a^2+h^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{3a^2+4h^2}$. Suy ra $S_{A^{\prime }BC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3a^2+4h^2}=\frac{a}{4}\sqrt{3a^2+4h^2}$. Thể tích khối lăng trụ: $V=d(A,(A^{\prime }BC))\cdot S_{A^{\prime }BC}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{4}\sqrt{3a^2+4h^2}=\frac{a^2}{8}\sqrt{3a^2+4h^2}$. Mặt khác $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h$. Suy ra $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=\frac{a^2}{8}\sqrt{3a^2+4h^2}\Rightarrow 2\sqrt{3}h=\sqrt{3a^2+4h^2}\Rightarrow 12h^2=3a^2+4h^2\Rightarrow 8h^2=3a^2\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{6}}{4}$. Vậy $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{16}{a}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ vì $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì lăng trụ đều nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABC)$ là $A$. Tam giác $ABC$ đều nên $AM\perp BC$, suy ra $A^{\prime }M\perp BC$ (định lý ba đường vuông góc). Vậy góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }MA}=60^{\circ }$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AM$ vuông tại $A$: $A{A}^{\prime }=AM\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3a}{2}$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra $AB\perp B{B}^{\prime }$ và $AB\perp BC$, do đó $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $B$, nên góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $\widehat{A{B}^{\prime }B}=30^{\circ }$.

Ta có $\tan 30^{\circ }=\frac{AB}{B{B}^{\prime }}=\frac{a}{B{B}^{\prime }}$, suy ra $B{B}^{\prime }=\frac{a}{\tan 30^{\circ }}=a\sqrt{3}$.

Diện tích đáy (tam giác đều cạnh $a$): $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích: $V=S\cdot B{B}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h=A{A}^{\prime }$ là chiều cao lăng trụ. Thể tích khối chóp $A^{\prime }.ABC$ là $V_{A^{\prime }.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}h}{12}$, nên $d(A,(A^{\prime }BC))=\frac{3V_{A^{\prime }.ABC}}{S_{A^{\prime }BC}}$.

Tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ với $A^{\prime }B=A^{\prime }C=\sqrt{a^2+h^2}$, $BC=a$, đường cao $=\sqrt{a^2+h^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}$, nên $S_{A^{\prime }BC}=\frac{a}{2}\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}$.

Do đó $d(A,(A^{\prime }BC))=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}h}{4}}{\frac{a}{2}\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{3}h}{2\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{3}h=\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}\Rightarrow 3h^2=h^2+\frac{3a^2}{4}\Rightarrow h^2=\frac{3a^2}{8}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Thể tích lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{16}{a}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot 2a=2a^3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 500 lít = 500 dm³. Diện tích đáy bể là $10\times 5=50$ dm². Chiều cao mực nước (khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể) là $V/S=500:50=10$ dm. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $AB$ và $A^{\prime }H\perp (ABC)$ nên tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $H$ với $AH=\frac{AB}{2}=a$, $A{A}^{\prime }=3a$. Chiều cao lăng trụ $A^{\prime }H=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A{H}^2}=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a$, nên câu a) sai (không phải $a\sqrt{10}$). Diện tích đáy $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}(2a)(a)=a^2$, câu b) đúng. Thể tích $V=S\cdot A^{\prime }H=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3\ne \sqrt{10}{a}^3$, câu c) sai. Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CH}$: đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $H(a,0,0)$, $A^{\prime }(a,0,2\sqrt{2}a)$; $HC=a\sqrt{2}$ nên $\tan \widehat{A^{\prime }CH}=\frac{A^{\prime }H}{HC}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2$, suy ra góc $\approx 63^{\circ }\ne 72^{\circ }$, câu d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $H$, $AH=a$, $A{A}^{\prime }=3a$ nên chiều cao $A^{\prime }H=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a\ne a\sqrt{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta ABC$ vuông tại $A$: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3\ne \sqrt{10}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CH}$ với $HC=a\sqrt{2}$, $\tan \widehat{A^{\prime }CH}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2\Rightarrow \widehat{A^{\prime }CH}\approx 63^{\circ }\ne 72^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hình chóp cụt đều có chiều cao $h$ và diện tích hai đáy $S_1,S_2$ là $V=\frac{1}{3}h\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)$. Đây là công thức chuẩn, suy ra từ hiệu hai hình chóp đồng dạng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp theo công thức chuẩn là $V=\frac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao. Do đó đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên chiều cao $h=SA=a\sqrt{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=3a^2\cdot 2a=6a^3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Đáy cạnh 6 cm nên AC = 6√2, AO = AC/2 = 3√2 (cm). Vì S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD), cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60° tức góc giữa SA và (ABCD) là góc SAO = 60°. Suy ra SO = AO·tan60° = 3√2·√3 = 3√6 (cm). Diện tích đáy S_ABCD = 6² = 36 (cm²). Thể tích V = (1/3)·36·3√6 = 36√6 (cm³).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=a\sqrt{3}$, nên $AB=AC=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A^{\prime }{C}^2=A{A}^{\prime 2}+A{C}^2\Rightarrow A{A}^{\prime 2}=9a^2-\frac{6a^2}{4}=\frac{15a^2}{2}\Rightarrow A{A}^{\prime }=a\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{a\sqrt{30}}{2}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a\sqrt{30}}{2}=\frac{3a^3\sqrt{30}}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên $CD\parallel (SAB)$, do đó khoảng cách giữa $SA$ và $CD$ bằng khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Gọi $O$ là tâm đáy, $SO=h$ là chiều cao chóp. Đặt hệ tọa độ: $A(-a\sqrt{3},-a\sqrt{3},0)$, $B(a\sqrt{3},-a\sqrt{3},0)$, $C(a\sqrt{3},a\sqrt{3},0)$, $S(0,0,h)$.

Mặt phẳng $(SAB)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(0,-2a\sqrt{3}h,6a^2)$, đi qua $A$, nên phương trình: $-2a\sqrt{3}h(y+a\sqrt{3})+6a^{2}z=0$.

Khoảng cách từ $C(a\sqrt{3},a\sqrt{3},0)$ đến $(SAB)$:
$$d=\frac{12a^{2}h}{\sqrt{12a^2{h}^2+36a^4}}=\frac{6ah}{\sqrt{3h^2+9a^2}}=3a.$$

Suy ra $2h=\sqrt{3h^2+9a^2}\Rightarrow 4h^2=3h^2+9a^2\Rightarrow h=3a$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot (2a\sqrt{3}{)}^2\cdot 3a=\frac{1}{3}\cdot 12a^2\cdot 3a=12a^3$.