Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }(0;0;h)$, $B^{\prime }(a;0;h)$, $C^{\prime }\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};h\right)$ với $h=A{A}^{\prime }$ là chiều cao lăng trụ.

Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ đi qua $A$ có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;h)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};h\right)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(-\frac{ah\sqrt{3}}{2};-\frac{ah}{2};\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)$, chọn $\vec{n}=(-h\sqrt{3};-h;a\sqrt{3})$.

Khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$:
$$d(A^{\prime },(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}|}{|\vec{n}|}=\frac{a\sqrt{3}h}{\sqrt{4h^2+3a^2}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$$

Suy ra $\frac{h}{\sqrt{4h^2+3a^2}}=\frac{2}{\sqrt{19}}\Rightarrow 19h^2=16h^2+12a^2\Rightarrow 3h^2=12a^2\Rightarrow h=2a$.

Thể tích khối lăng trụ:
$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều: $V_1=\frac{1,5}{3}(7,4^2+10,4^2+7,4\cdot 10,4)=0,5(54,76+108,16+76,96)=119,94c{m}^3$.

Vật thể $H$ là một chỏm cầu với bán kính cầu $R=5,8cm$, bán kính mặt cắt $r=3,5cm$. Chiều cao chỏm: $h=R-\sqrt{R^2-r^2}=5,8-\sqrt{33,64-12,25}=5,8-\sqrt{21,39}\approx 1,175068cm$.

Thể tích chỏm cầu: $V_H=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}=\frac{\pi \cdot (1,175068{)}^2\cdot (17,4-1,175068)}{3}\approx \frac{\pi \cdot 1,380785\cdot 16,224932}{3}\approx 23,4593c{m}^3$.

Thể tích chân đế: $V=119,94-23,4593\approx 96,4807\approx 96,5c{m}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=2$ nên diện tích đáy $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Thể tích lăng trụ đứng $V=S\cdot A{A}^{\prime }=2\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx 2,828\approx 2,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $B=(0;0)$, $A=(2;0)$, vì tam giác $ABC$ cân tại $B$ với $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $AB=BC=2$ nên $C=(-1;\sqrt{3})$, do đó $AC=2\sqrt{3}$, diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 120^{\circ }=\sqrt{3}$.

Tìm $H$: $\widehat{HAB}=90^{\circ }$ nghĩa là $HA\perp AB$ (trục hoành) nên $H$ có hoành độ $2$: $H=(2;y)$. Điều kiện $\widehat{HCB}=90^{\circ }$: $(H-C)\perp (C-B)$ với $C-B=(-1;\sqrt{3})$, $H-C=(3;y-\sqrt{3})$: $-3+\sqrt{3}(y-\sqrt{3})=0\Rightarrow y=2\sqrt{3}$. Vậy $H=(2;2\sqrt{3})$, $AH=2\sqrt{3}$, $HC=2\sqrt{3}$.

Vì $A^{\prime }H\perp (ABC)$, góc giữa mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và đáy là góc nhị diện theo cạnh $AC$. Gọi $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ xuống $AC$, thì góc nhị diện là $\widehat{A^{\prime }KH}$ với $\tan \widehat{A^{\prime }KH}=\frac{A^{\prime }H}{HK}$.

Khoảng cách từ $H$ đến đường thẳng $AC$ (phương trình $\sqrt{3}x+3y-2\sqrt{3}=0$): $HK=\frac{|2\sqrt{3}\cdot 2+3\cdot 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4$.

Suy ra $A^{\prime }H=HK\cdot \tan 60^{\circ }=4\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=B\cdot h$. Do đó đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{đ\acute{a}y}h=\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 6=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp cụt tứ giác đều có hai đáy là hình vuông cạnh 14 m và 10 m. Nửa hiệu hai cạnh đáy là (14 − 10)/2 = 2 m, đây là khoảng cách giữa hai đáy tính theo phương ngang (hiệu độ dài đường chéo trung bình trên mặt phẳng dọc). Góc nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ bằng 135°, nên góc giữa mặt bên và mặt đáy (phía trong hầm) là 180° − 135° = 45°. Chiều cao h của hình chóp cụt: h = 2 · tan 45° = 2 (m). Diện tích hai đáy: S₁ = 14² = 196 m², S₂ = 10² = 100 m². Thể tích hình chóp cụt: V = (h/3)(S₁ + S₂ + √(S₁S₂)) = (2/3)(196 + 100 + 140) = (2/3)·436 = 872/3 ≈ 290,67 m³. Vậy số mét khối đất cần di chuyển là 872/3 ≈ 290,67 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=S\cdot h=h.S$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot 3a=a^3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABCD là hình chữ nhật với $AD=3$, $CD=4$ nên diện tích đáy $S_{ABCD}=AD\cdot CD=3\cdot 4=12$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp, $SA=6$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 6=24$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (24).

Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.MNPQ$ với $ABCD$ là hình vuông cạnh 5 m, $MNPQ$ là hình vuông cạnh 2 m, $AM=BN=CP=DQ=3$ m.

Vì $DQ$, $NB$ cắt nhau nên $D,Q,N,B$ đồng phẳng. Mà $(ABCD)\parallel (MNPQ)$ nên $NQ\parallel BD$.
Gọi $I$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khi đó $IO\perp (MNPQ)$, $IO\perp (ABCD)$.

Xét hình thang $QNBD$, gọi $H$ là hình chiếu của $Q$ trên $BD$, $K$ là hình chiếu của $N$ trên $BD$. Vì $IO\perp BD$, $QH\perp BD$, $NK\perp BD$ trong $(QNBD)$ nên $IO\parallel QH\parallel NK$.
Suy ra $QH\perp (MNPQ)$, $QH\perp (ABCD)$ nên $QH$ bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.
Ngoài ra, ta có $QH=NK=IO$ và $QD=NB$. Suy ra $\Delta QHD=\Delta NKB$ nên ta có $HD=BK$.
Bên cạnh đó, $QNKH$ là hình chữ nhật nên $QN=HK$. Từ đó ta có:
$$HD=\frac{BD-HK}{2}=\frac{\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}-\sqrt{M{N}^2+M{Q}^2}}{2}=\frac{\sqrt{5^2+5^2}-\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$
Xét tam giác $QHD$ vuông tại $H$ có:
$$QH=\sqrt{Q{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\text{m}).$$
Diện tích của hai đáy là:
$$S_{ABCD}=A{B}^2=5^2=25\left({\text{m}}^2\right),S_{MNPQ}=M{N}^2=2^2=4\left({\text{m}}^2\right).$$
Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:
$$V=\frac{1}{3}QH\left(S_{ABCD}+\sqrt{S_{ABCD}\cdot S_{MNPQ}}+S_{MNPQ}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(25+\sqrt{25\cdot 4}+4\right)=\frac{39\sqrt{2}}{2}\left({\text{m}}^3\right).$$
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:
$$1470000\cdot \frac{39\sqrt{2}}{2}\approx 40538000(\text{đoˆˋng}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=5\cdot 3=15$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=5\cdot 3=15$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABCD là hình chữ nhật với $AD=3$, $CD=4$ nên diện tích đáy $S_{ABCD}=AD\cdot CD=3\cdot 4=12$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp, $SA=6$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 6=24$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (24).

Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.MNPQ$ với $ABCD$ là hình vuông cạnh 5 m, $MNPQ$ là hình vuông cạnh 2 m, $AM=BN=CP=DQ=3$ m.

Vì $DQ$, $NB$ cắt nhau nên $D,Q,N,B$ đồng phẳng. Mà $(ABCD)\parallel (MNPQ)$ nên $NQ\parallel BD$.
Gọi $I$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khi đó $IO\perp (MNPQ)$, $IO\perp (ABCD)$.

Xét hình thang $QNBD$, gọi $H$ là hình chiếu của $Q$ trên $BD$, $K$ là hình chiếu của $N$ trên $BD$. Vì $IO\perp BD$, $QH\perp BD$, $NK\perp BD$ trong $(QNBD)$ nên $IO\parallel QH\parallel NK$.
Suy ra $QH\perp (MNPQ)$, $QH\perp (ABCD)$ nên $QH$ bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.
Ngoài ra, ta có $QH=NK=IO$ và $QD=NB$. Suy ra $\Delta QHD=\Delta NKB$ nên ta có $HD=BK$.
Bên cạnh đó, $QNKH$ là hình chữ nhật nên $QN=HK$. Từ đó ta có:
$$HD=\frac{BD-HK}{2}=\frac{\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}-\sqrt{M{N}^2+M{Q}^2}}{2}=\frac{\sqrt{5^2+5^2}-\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$
Xét tam giác $QHD$ vuông tại $H$ có:
$$QH=\sqrt{Q{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\text{m}).$$
Diện tích của hai đáy là:
$$S_{ABCD}=A{B}^2=5^2=25\left({\text{m}}^2\right),S_{MNPQ}=M{N}^2=2^2=4\left({\text{m}}^2\right).$$
Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:
$$V=\frac{1}{3}QH\left(S_{ABCD}+\sqrt{S_{ABCD}\cdot S_{MNPQ}}+S_{MNPQ}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(25+\sqrt{25\cdot 4}+4\right)=\frac{39\sqrt{2}}{2}\left({\text{m}}^3\right).$$
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:
$$1470000\cdot \frac{39\sqrt{2}}{2}\approx 40538000(\text{đoˆˋng}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy: vì $AC\perp BD$ nên $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3$.

Góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc $\widehat{SCA}$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $\tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow SA=\frac{AC}{3}=\frac{2}{3}$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,67$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình vuông cạnh $AB=1$ nên diện tích đáy $S_{ABCD}=1^2=1$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ là chiều cao, $h=SA=3$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 3=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước $a,b,c$ là $V=abc$ (diện tích đáy $ab$ nhân với chiều cao $c$). Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 1102, câu 1: A.

Giả sử đáy dưới và đáy trên của tháp lần lượt có dạng hình vuông $ABCD$ và $MNPQ$ có cạnh lần lượt $6m$ và $4m$ như hình bên.



Gọi $O$ là giao điểm của các đường thẳng chứa cạnh bên hình chóp cụt đều. Ta có: $BD$ và $NQ$ lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng $(OBD)$ với hai mặt phẳng chứa đáy nên $BD//NQ$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $Q,N$ trên $BD$ khi đó $HK=QN=4\sqrt{2}(m)$. Vì tứ giác $BNQD$ là hình thang cân nên $DH=BK=\frac{BD-HK}{2}=\sqrt{2}(m)$.
Đường cao của khối chóp cụt đều là $QH=\sqrt{14}(m)$.
Diện tích của hai đáy lần lượt bằng $36m^2$ và $16m^2$. Thể tích của khối chóp cụt đều bằng
$$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{14}\cdot \left(36+\sqrt{36\cdot 16}+16\right)=\frac{76\sqrt{14}}{3}\left(m^3\right)$$
Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:
$$\frac{76\sqrt{14}}{3}\cdot 1500000\approx 142182980\text{(đoˆˋng)}\approx 142\text{(triệu đoˆˋng)}$$