Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước $a,b,c$ là $V=abc$ (diện tích đáy $ab$ nhân với chiều cao $c$). Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 1101, câu 10: B).

Giả sử đáy dưới và đáy trên của tháp lần lượt có dạng hình vuông $ABCD$ và $MNPQ$ có cạnh lần lượt $6m$ và $4m$ như hình bên.



Gọi $O$ là giao điểm của các đường thẳng chứa cạnh bên hình chóp cụt đều. Ta có: $BD$ và $NQ$ lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng $(OBD)$ với hai mặt phẳng chứa đáy nên $BD//NQ$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $Q,N$ trên $BD$ khi đó $HK=QN=4\sqrt{2}(m)$. Vì tứ giác $BNQD$ là hình thang cân nên $DH=BK=\frac{BD-HK}{2}=\sqrt{2}(m)$.
Đường cao của khối chóp cụt đều là $QH=\sqrt{14}(m)$.
Diện tích của hai đáy lần lượt bằng $36m^2$ và $16m^2$. Thể tích của khối chóp cụt đều bằng
$$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{14}\cdot \left(36+\sqrt{36\cdot 16}+16\right)=\frac{76\sqrt{14}}{3}\left(m^3\right)$$
Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:
$$\frac{76\sqrt{14}}{3}\cdot 1500000\approx 142182980\text{(đoˆˋng)}\approx 142\text{(triệu đoˆˋng)}$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 7\cdot 6=14$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là tam giác vuông cân tại C với cạnh huyền AB=4a nên AC=BC=4a/√2=2√2a, diện tích đáy S_ABC = (1/2)(2√2a)(2√2a)=4a². Vì SA⊥(ABC) nên góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA=60°, suy ra SA=AB·tan60°=4a√3. Thể tích V=(1/3)·SA·S_ABC=(1/3)(4a√3)(4a²)=16√3a³/3. Do đó a³/(3V)=a³/(16√3a³)=1/(16√3)=√3/48≈0,0361≈0,04.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích bể hình hộp chữ nhật: $V=1\times 0,5\times 0,8=0,4m^3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=34$ m, cạnh bên $SA=32$ m.
a) Đúng: hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
b) Sai: chiều cao của hình chóp là đoạn nối từ đỉnh xuống tâm đáy (hình vuông), không phải trung điểm cạnh đáy (đó là trung đoạn của mặt bên).
c) Sai: gọi $O$ là tâm đáy, $H$ là trung điểm cạnh đáy. $OH\perp AB$ nên $AB\perp (SOH)$, do đó $(SAB)\perp (SOH)$. Khoảng cách từ $O$ đến $(SAB)$ là độ dài đoạn vuông góc hạ từ $O$ lên $SH$ (không phải $OH$).
d) Sai: $OH=\frac{34}{2}=17$, chiều cao $h=\sqrt{32^2-17^2}=\sqrt{735}\approx 27,11$ m. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 34^2\cdot \sqrt{735}\approx 10447m^3\ne 8138m^3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều có mặt đáy là hình vuông.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao là đoạn nối từ đỉnh đến tâm đáy, không phải trung điểm cạnh đáy.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến mặt bên $(SAB)$ là đoạn vuông góc từ $O$ lên trung đoạn $SH$, không phải đoạn nối từ $O$ đến trung điểm cạnh đáy.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h=\sqrt{32^2-17^2}=\sqrt{735}\approx 27,11$; $V=\frac{1}{3}\cdot 34^2\cdot \sqrt{735}\approx 10447m^3\ne 8138m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Khối rubik là hình chóp tam giác đều (tứ diện đều) với cạnh $a=9$ cm. Diện tích đáy: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{81\sqrt{3}}{4}$ cm². Chiều cao của tứ diện đều: $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{9\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{6}$ cm. Thể tích: $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{6}=\frac{81\sqrt{18}}{4}=\frac{243\sqrt{2}}{4}\approx 85.91$ cm³. Làm tròn đến hàng đơn vị: $V\approx 86$ cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot 6=10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước: 120000 lít = 120 m${}^3$. Diện tích đáy hồ: $6\times 12,5=75$ m${}^2$. Chiều cao mực nước: $120:75=1,6$ m. Khoảng cách từ mực nước đến mặt hồ: $2-1,6=0,4$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy hình vuông, $S$ là đỉnh kim tự tháp. Cạnh đáy $a=262$ m, cạnh bên $SA=230$ m. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}=131\sqrt{2}$ m. Chiều cao $h=SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{230^2-(131\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{52900-34322}=\sqrt{18578}\approx 136,3$ m. Vậy chiều cao kim tự tháp gần đúng là 136 m, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ đứng, hình chiếu của $B^{\prime }$ xuống đáy $(ABC)$ là $B$, nên góc giữa $A{B}^{\prime }$ và đáy là $\widehat{B^{\prime }AB}=60^{\circ }$. Tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ với $AB=a$, suy ra chiều cao lăng trụ $B{B}^{\prime }=AB\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vậy $V=S\cdot B{B}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy bể là $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=5m$, $A^{\prime }{D}^{\prime }=AD=4m$, diện tích đáy $S=5\cdot 4=20m^2$. Thể tích nước $V=S\cdot h=20h=40\Rightarrow h=2m$. Mực nước cách đáy bể $2m$ (nhỏ hơn chiều cao bể $A{A}^{\prime }=3m$ nên hợp lệ).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích phần hình hộp chữ nhật: $V_1=5\cdot 5\cdot 12=300m^3$. Phần hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh 5m, cạnh bên 8m. Nửa đường chéo đáy $=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, nên chiều cao chóp $h=\sqrt{8^2-{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{64-\frac{25}{2}}=\sqrt{\frac{103}{2}}\approx 7,179m$. Thể tích chóp $V_2=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 7,179\approx 59,83m^3$. Tổng thể tích tháp $V=300+59,83\approx 359,83\approx 360m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên chiều cao khối chóp là $SA=a$. Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ với $AC=\sqrt{2}a$ nên $BC=\sqrt{2}a$, do đó $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}a\cdot \sqrt{2}a=a^2$. Đường cao của chóp là $SH=a$ (vì $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$). Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $SA=SB=2a$, $AB=a$ nên $SH\perp AB$ và $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và giao tuyến là $AB$, $SH\subset (SAB)$, $SH\perp AB$ nên $SH\perp (ABCD)$, tức chiều cao khối chóp là $h=\frac{a\sqrt{15}}{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{15}}{2}=\frac{a^3\sqrt{15}}{6}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ với $SA\perp (ABCD)$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, thì $AG=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì chóp đều nên $SG\perp (ABC)$ và $SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{33}}{3}=\frac{a^3\sqrt{99}}{36}=\frac{3a^3\sqrt{11}}{36}=\frac{\sqrt{11}{a}^3}{12}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$ là $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot SA=\frac{a^3}{4}$, suy ra $SA=\frac{a^3}{4}\cdot \frac{12}{a^2\sqrt{3}}=\frac{3a}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=BC=2a$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA=6a$ là chiều cao của chóp. Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot 6a=4a^3$. Vậy đáp án A.