Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy a=4, cạnh bên AA'=2, nên chiều cao h=AA'=2.
a) Sai: chiều cao bằng 2, không phải 4.
b) Đúng: diện tích đáy S = (4²√3)/4 = 4√3, thể tích V = S·h = 4√3·2 = 8√3.
c) Đúng: AA' song song với mặt phẳng (BCC'B') nên d(AA', BC) = d(A, BC) = chiều cao tam giác đều ABC = 4·(√3/2) = 2√3.
d) Sai: A'C tạo với (ABC) góc bằng góc giữa A'C và AC, tức góc A'CA với tan = AA'/AC = 2/4 = 1/2, nên góc ≈ 26°33', không phải 60°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên chiều cao h = AA' = cạnh bên = 2, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
S_ABC = 4²√3/4 = 4√3; V = S·h = 4√3·2 = 8√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AA' ∥ (BCC'B') nên d(AA', BC) = d(A, BC) = 4√3/2 = 2√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa A'C và (ABC) là góc A'CA, tan = AA'/AC = 2/4 = 1/2, góc ≈ 26°33' ≠ 60°.

Nguồn gạch chân đáp án D (56). Tuy nhiên, theo công thức thể tích khối chóp cụt: $V=\frac{h}{6}\left(S+S^{\prime }+\sqrt{S{S}^{\prime }}\right)=\frac{6}{6}\left(4+16+\sqrt{4\cdot 16}\right)=20+8=28$, tức khớp với đáp án C. Đáp án nguồn D (56) có vẻ sai toán học; đã giữ nguyên đáp án nguồn D theo chính sách và đánh dấu xung đột để human review.

Chọn C. [Hình cần kiểm tra lại: p16_f2] Khối chóp $S.ABCD$ có chiều cao $SA=a\sqrt{3}$ và diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$. Thể tích của khối chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}.a^2.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Chọn C. Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $ABCD$ là góc $SBA$. Khi đó ta có: $SA=AB.\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}{a}^2.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy, $M$ là trung điểm $AB$. Góc giữa mặt bên $(SAB)$ và mặt đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SMO}=60^{\circ }$. Ta có $OM=\frac{a}{2}$, nên chiều cao $h=SO=OM\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$. Vậy $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. Kết quả trùng với bảng đáp án nguồn (trang 5, Câu 12 chọn C).

a) Gọi 2026 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 4050 là $a_1<a_2<...<a_{2026}$ (1)

Đặt $b_1=a_2-a_1;b_2=a_3-a_1;...b_{2025}=a_{2026}-a_1$ (2)

Ta có (2) chứa 2025 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 4050 [0,5 điểm]

Từ (1) và (2) ta có 4051 số nguyên từ 1 đến 4050 [0,5 điểm]

Vậy có một số ở (1) và (2) trùng nhau, giả sử số đó là

$a_i-a_1=a_j\Rightarrow a_i=a_1+a_j$ (đpcm) [1,0 điểm]

b) Lấy $F$ là trung điểm của $SE$ thì $DF//AE$, mà $BD\perp AE$ nên $BD\perp DF$ $\Rightarrow B{D}^2+D{F}^2=B{F}^2$ (1). [0,5 điểm]

Đặt $AB=x$. Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

$$B{D}^2=\frac{A{B}^2+S{B}^2}{2}-\frac{S{A}^2}{4}=\frac{x^2+1^2}{2}-\frac{1^2}{4}=\frac{2x^2+1}{4}$$

Tương tự: $A{E}^2=B{E}^2=\frac{2x^2+1}{4}$; $D{F}^2=\frac{A{E}^2}{4}=\frac{2x^2+1}{16}$ [0,5 điểm]

$$B{F}^2=\frac{B{S}^2+B{E}^2}{2}-\frac{S{E}^2}{4}=\frac{1+\frac{2x^2+1}{4}}{2}-\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{4}=\frac{7}{16}+\frac{2x^2+1}{8}.$$

Đặt $t=\frac{2x^2+1}{4}$, thay vào (1) ta có: $t+\frac{t}{4}=\frac{7}{16}+\frac{t}{2}\iff t=\frac{7}{12}$

$\Rightarrow \frac{2x^2+1}{4}=\frac{7}{12}\iff x^2=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{3}$. [0,5 điểm]

Khi đó đường cao

$$SH=\sqrt{S{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{\sqrt{21}}{54}$. [0,5 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 4: $S=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ cm². Chiều cao lăng trụ đứng $h=A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}$ cm. Thể tích $V=S\cdot h=4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=24\cdot ...$ tính lại: $4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=8\cdot 3=24$ cm³. Tuy nhiên đáp án nguồn là 8; kiểm tra lại: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$, $V=4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=24$. Kết quả tính toán đúng là 24 cm³, nhưng đáp án nguồn ghi 8. Vì đề bài yêu cầu không ghi đè đáp án nguồn khi có xung đột, trả về solved=false.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là tam giác đều cạnh $a=6$ cm nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}c{m}^2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên chiều cao của chóp là $h=SA=3\sqrt{3}$ cm. Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=27c{m}^3$. (Đề ghi 'khối lăng trụ' nhưng theo ngữ cảnh và đáp án nguồn 27, đây là thể tích khối chóp $S.ABC$.) Kết quả khớp đáp án nguồn: 27.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 6: $S_{ABC}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm². Vì $SA\perp (ABC)$ nên chiều cao khối chóp $h=SA=3\sqrt{3}$ cm. Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=27$ cm³. (Đề dùng từ 'khối lăng trụ' nhưng theo dữ kiện là khối chóp; kết quả khớp đáp án nguồn 27.)

(AI giải đề cho tôi)
Khối lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh $a=2$, chiều cao $h=5$.
Diện tích đáy: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.
Thể tích: $V=S\cdot h=\sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3}\approx 8,\mathrm{660...}\approx 8,7$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (8,7).

a)

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

$$S_{ABCD}=\frac{(BC+AD)AB}{2}=\frac{3a^2}{2}$$
$AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mp $(ABCD)$.
Suy ra góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $SBA$.
$$\Rightarrow SA=AB.\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}a$$
$$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{3}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^3.$$
(Học sinh tính được diện tích đáy hoặc chiều cao hình chóp cho 0,25đ)

b) Gọi $M$ là trung điểm $AD$; $N$ là giao điểm $BD$ và $CM$; $I$ là giao điểm $AC$ và $BM$.
Từ giả thiết suy ra tứ giác $ABCM$ là hình vuông, tứ giác $BCDM$ là hình bình hành.
Nên $N$ là trung điểm của $MC$, $I$ là trung điểm $BM$.
Do đó, $O$ là trọng tâm tam giác $BCM$.
$$\Rightarrow OC=\frac{2}{3}CI=\frac{1}{3}AC\Rightarrow d\left(O,(SCD)\right)=\frac{1}{3}d\left(A,(SCD)\right)$$
Hạ $AH\perp SC$ tại H (1)
Ta có $CM=AB=\frac{AD}{2}\Rightarrow AC\perp CD$
$$CD\perp SA$$
$$\Rightarrow CD\perp (SAC)\Rightarrow CD\perp AH(2)$$
Từ (1), (2) suy ra $AH\perp (SCD)$ tại H
$$\Rightarrow d(A,(SCD))=AH.$$
$$AH.SC=SA.AC\Rightarrow AH=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3a^2+2a^2}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$$
Vì vậy, $d(O,(SCD))=\frac{a\sqrt{30}}{15}$.
(Học sinh tính được khoảng cách từ A đến mp(SCD) cho 0,25đ)

Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=2a$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của chóp, $SA=3a$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot 3a=2a^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 2: $S=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}\approx 5,196\approx 5,2$. Khớp với đáp án nguồn 5,2.

a)

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

$$S_{ABCD}=\frac{(BC+AD)AB}{2}=\frac{3a^2}{2}$$
$AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mp $(ABCD)$.
Suy ra góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $SBA$.
$$\Rightarrow SA=AB.\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}a$$
$$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{3}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^3.$$
(Học sinh tính được diện tích đáy hoặc chiều cao hình chóp cho 0,25đ)

b) Gọi $M$ là trung điểm $AD$; $N$ là giao điểm $BD$ và $CM$; $I$ là giao điểm $AC$ và $BM$.
Từ giả thiết suy ra tứ giác $ABCM$ là hình vuông, tứ giác $BCDM$ là hình bình hành.
Nên $N$ là trung điểm của $MC$, $I$ là trung điểm $BM$.
Do đó, $O$ là trọng tâm tam giác $BCM$.
$$\Rightarrow OC=\frac{2}{3}CI=\frac{1}{3}AC\Rightarrow d\left(O,(SCD)\right)=\frac{1}{3}d\left(A,(SCD)\right)$$
Hạ $AH\perp SC$ tại H (1)
Ta có $CM=AB=\frac{AD}{2}\Rightarrow AC\perp CD$
$$CD\perp SA$$
$$\Rightarrow CD\perp (SAC)\Rightarrow CD\perp AH(2)$$
Từ (1), (2) suy ra $AH\perp (SCD)$ tại H
$$\Rightarrow d(A,(SCD))=AH.$$
$$AH.SC=SA.AC\Rightarrow AH=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{3a^2+2a^2}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$$
Vì vậy, $d(O,(SCD))=\frac{a\sqrt{30}}{15}$.
(Học sinh tính được khoảng cách từ A đến mp(SCD) cho 0,25đ)

Lưu ý: Học sinh có thể làm bài theo phương pháp giải khác có kết quả đúng thì vẫn được đánh giá điểm tương đương cho phần nội dung trả lời đó.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=2a$ nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA=3a$ là chiều cao của hình chóp. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot 3a=2a^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1101, câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a\sqrt{2}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}{)}^2=a^2$. Thể tích lăng trụ đứng $V=S_{ABC}\cdot B{B}^{\prime }=a^2\cdot 2a=2a^3$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a\sqrt{2}$. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}{)}^2=a^2$. Thể tích lăng trụ đứng: $V=S_{ABC}\cdot B{B}^{\prime }=a^2\cdot a=a^3$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy là $AC$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đáy là hình vuông cạnh 2 nên $AC=2\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $SA=AC\cdot \tan 45^{\circ }=2\sqrt{2}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=2^2=4$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}\approx 3,77\approx 3,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,8.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=a\sqrt{2}$ nên $AC=AB=a\sqrt{2}$. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}{)}^2=a^2$. Thể tích lăng trụ đứng: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=a^2\cdot 3a=3a^3$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: D).