Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: $V=S\cdot h$. Do đó mệnh đề đúng là $V=h.S$, tương ứng phương án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đáy là hình vuông cạnh 3 nên $AC=3\sqrt{2}$. Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $SA=AC\cdot \tan 45^{\circ }=3\sqrt{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}\approx 12,7$. Khớp với đáp án nguồn 12,7.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=a\sqrt{3}$ nên diện tích đáy $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}(a\sqrt{3}{)}^2=\frac{3a^2}{2}$. Thể tích lăng trụ đứng $V=S\cdot A{A}^{\prime }=\frac{3a^2}{2}\cdot 4a=6a^3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp có công thức $V=\frac{1}{3}h\cdot S$, với $h$ là đường cao và $S$ là diện tích đáy. Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Khối tứ diện $ABD{A}^{\prime }$ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ là $AB,AD,A{A}^{\prime }$ đôi một vuông góc, nên thể tích của nó bằng $\frac{1}{6}$ thể tích hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Do đó $V_{ABD{A}^{\prime }}=\frac{1}{6}\cdot 24=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 17: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích tứ diện $ABD{A}^{\prime }$ bằng $\frac{1}{6}$ thể tích hình hộp chữ nhật vì hai khối có chung đáy $ABD$ (nửa hình vuông đáy, diện tích $=\frac{1}{2}AB\cdot AD$) và cùng chiều cao $A{A}^{\prime }$. Do đó $V_{ABD{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }\cdot 2=\frac{60}{6}=10$. Đáp án: 10, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1011, câu 15 = 10).

(AI giải đề cho tôi)
Phần dưới tháp là hình hộp chữ nhật cao $10$ m với đáy hình vuông cạnh $4$ m. Phần trên là hình chóp tứ giác đều có đáy cạnh $4$ m và cạnh bên $6$ m.

Đường chéo đáy hình vuông có độ dài $4\sqrt{2}$, nên khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh đáy là $\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ m.

Gọi $h$ là chiều cao hình chóp. Trong tam giác vuông tạo bởi đỉnh chóp, tâm đáy và một đỉnh đáy:
$$h^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=6^2\Rightarrow h^2=36-8=28\Rightarrow h=\sqrt{28}\approx 5,29\text{ m}.$$

Chiều cao của tháp:
$$10+\sqrt{28}\approx 10+5,29=15,29\approx 15,3\text{ m}.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, Phần III, Câu 2: 15,3).

Gọi E là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$
Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có $A^{\prime }A=A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $\widehat{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\widehat{AB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$ nên tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ là tam giác đều cạnh a.
Suy ra $AE\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (1)
KE là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $KE//A^{\prime }{C}^{\prime }$
Mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $KE\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (AEK)$
Vẽ $AH\perp KE$, Suy ra $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$

Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$
Suy ra $KE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ đều cạnh a, có đường cao AE nên $AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra tam giác AKE cân tại E
Gọi F là trung điểm AK thì $EF\perp AK$
Lại có, $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (AKE)$ nên $EF\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $d(A^{\prime }{B}^{\prime },AK)=EF=\frac{3a}{4}$

Tam giác $AEF$ vuông tại F có $AF=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy tam giác $AKE$ đều cạnh $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ có đường cao $AH$ nên
$$AH=\frac{3a}{4}$$
$$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.\frac{3a}{4}=\frac{3\sqrt{3}.a^3}{8}$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ theo công thức chuẩn là $V=\frac{1}{3}Sh$. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 112 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy hình vuông cạnh $4$ m của hình chóp tứ giác đều. Nửa đường chéo đáy $OA=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ m. Cạnh bên của hình chóp dài $6$ m, nên chiều cao của phần hình chóp là $h=\sqrt{6^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{36-8}=\sqrt{28}\approx 5,29$ m. Chiều cao của tháp bằng chiều cao hình hộp chữ nhật cộng chiều cao hình chóp: $10+\sqrt{28}\approx 15,29\approx 15,3$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (15,3).

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

Gọi E là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$
Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có $A^{\prime }A=A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $\widehat{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\widehat{AB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$ nên tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ là tam giác đều cạnh a.
Suy ra $AE\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (1)
KE là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $KE//A^{\prime }{C}^{\prime }$
Mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $KE\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (AEK)$
Vẽ $AH\perp KE$, Suy ra $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$

Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$
Suy ra $KE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ đều cạnh a, có đường cao AE nên $AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra tam giác AKE cân tại E
Gọi F là trung điểm AK thì $EF\perp AK$
Lại có, $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (AKE)$ nên $EF\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $d(A^{\prime }{B}^{\prime },AK)=EF=\frac{3a}{4}$

Tam giác $AEF$ vuông tại F có $AF=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy tam giác $AKE$ đều cạnh $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ có đường cao $AH$ nên
$$AH=\frac{3a}{4}$$
$$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.\frac{3a}{4}=\frac{3\sqrt{3}.a^3}{8}$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ theo công thức chuẩn là $V=\frac{1}{3}Sh$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $SD=a\sqrt{5}$, $AD=a$ nên $SA=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$.
a) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2}{3}{a}^3$ → đúng.
b) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$ → đúng.
c) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, mà $AC$ chứa $C$ thuộc $SC$, do đó $SA\perp SC$ → đúng.
d) $BC\parallel AD$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC\parallel (SAD)$; do đó $d(BC,SD)=d(BC,(SAD))=d(C,(SAD))=CD=a$ (vì $CD\perp (SAD)$) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA=\sqrt{S{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$; $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2}{3}{a}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$), nên $CD\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow SA\perp SC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\parallel AD\Rightarrow BC\parallel (SAD)$, nên $d(BC,SD)=d(C,(SAD))=CD=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 5=10$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hình hộp chữ nhật: $V=15\times 10\times 5=750c{m}^3$. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1004 (Câu 10: D).

Diện tích đáy của chân tháp là: $S=6.2^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}(m^2)$

Thể tích một chân tháp là: $V=6\sqrt{3}.3=18\sqrt{3}(m^3)$

Số tiền mua bê tông tươi làm 4 chân tháp là:

$18\sqrt{3}.4.1,3=\frac{468}{5}\sqrt{3}\approx 162(triệuđ\grave{\hat{o}}ng)$

Diện tích đáy của chân tháp là: $S=6.2^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}(m^2)$

Thể tích một chân tháp là: $V=6\sqrt{3}.2,5=15\sqrt{3}(m^3)$

Số tiền mua bê tông tươi làm 4 chân tháp là:

$15\sqrt{3}.4.1,5=90\sqrt{3}\approx 156(triệuđ\grave{\hat{o}}ng)$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hình hộp chữ nhật $V=15\cdot 10\cdot 5=750c{m}^3$. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1003 (Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có hai đáy là hai tam giác đều đồng dạng nhưng không bằng nhau (đáy dưới lớn hơn đáy trên), các mặt bên là hình thang cân và các cạnh bên bằng nhau $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$. Do đó: tam giác $ABC$ đều (đúng), tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều (đúng), $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ (đúng). Còn $BC$ là cạnh của đáy lớn còn $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là cạnh của đáy nhỏ nên $BC\ne B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khẳng định A sai, là đáp án cần chọn. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 12: A).

Diện tích đáy của chân tháp là: $S=6.2^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}(m^2)$

Thể tích một chân tháp là: $V=6\sqrt{3}.3=18\sqrt{3}(m^3)$

Số tiền mua bê tông tươi làm 4 chân tháp là:

$18\sqrt{3}.4.1,3=\frac{468}{5}\sqrt{3}\approx 162(triệuđ\grave{\hat{o}}ng)$