Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hình hộp chữ nhật $V=5\cdot 10\cdot 15=750c{m}^3$. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hình hộp chữ nhật $V=15\times 10\times 5=750c{m}^3$. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 10: D).

Diện tích đáy của chân tháp là: $S=6.2^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}(m^2)$

Thể tích một chân tháp là: $V=6\sqrt{3}.2,5=15\sqrt{3}(m^3)$

Số tiền mua bê tông tươi làm 4 chân tháp là:

$15\sqrt{3}.4.1,5=90\sqrt{3}\approx 156(triệuđ\grave{\hat{o}}ng)$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot 3=10$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (câu 12: B).

a) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$. (0,25 điểm) Vì $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AC=2\Rightarrow BA=BC=\sqrt{2}$. $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BA.BC=1$. (0,25 điểm) $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$. (0,25 điểm) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Ta có $\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ BH\perp SA\end{array}\Rightarrow BH\perp SC$ (1). Kẻ $HK\perp SC(K\in SC)$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $SC\perp (BHK)\Rightarrow SC\perp BK$ (3). Từ (2) và (3) suy ra góc $\widehat{BKH}$ là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A,SC,B]$. Ta có (0,25 điểm) $\Delta SAC\sim \Delta HKC\Rightarrow \frac{SA}{HK}=\frac{SC}{HC}\Rightarrow HK=\frac{SA.HC}{SC}=\frac{\sqrt{2}.1}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $BH$ là đường trung tuyến nên $BH=\frac{1}{2}AC=1$. Vì $BH\perp (SAC)\Rightarrow BH\perp HK\Rightarrow \tan \widehat{BKH}=\frac{BH}{HK}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BKH}=60^{\circ }$. Vậy số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot 3=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a. a) Đúng: vì SA⊥(ABCD) nên (SAB)⊥(ABCD) (mặt phẳng chứa đường vuông góc SA với (ABCD)). b) Sai: V = (1/3)·a²·a = a³/3 ≠ a³. c) Đúng: khoảng cách từ S đến (ABCD) chính là SA = a. d) Sai: CD ∥ AB nên CD ∥ (SAB), khoảng cách giữa SA và CD bằng khoảng cách từ CD đến (SAB) = khoảng cách từ D đến AB = AD = a, không phải a/2. Kết quả ĐSĐS khớp đáp án mã đề 1101 câu 14.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) và SA nằm trong (SAB) nên (SAB)⊥(ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·S_đáy·SA = (1/3)·a²·a = a³/3 ≠ a³.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì SA⊥(ABCD) nên d(S,(ABCD)) = SA = a.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD∥AB nên CD∥(SAB); khoảng cách giữa SA và CD bằng d(D,(SAB)) = AD = a ≠ a/2.

a) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$. (0,25 điểm) Vì $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AC=2\Rightarrow BA=BC=\sqrt{2}$. $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BA.BC=1$. (0,25 điểm) $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$. (0,25 điểm) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Ta có $\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ BH\perp SA\end{array}\Rightarrow BH\perp SC$ (1). Kẻ $HK\perp SC(K\in SC)$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $SC\perp (BHK)\Rightarrow SC\perp BK$ (3). Từ (2) và (3) suy ra góc $\widehat{BKH}$ là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A,SC,B]$. Ta có (0,25 điểm) $\Delta SAC\sim \Delta HKC\Rightarrow \frac{SA}{HK}=\frac{SC}{HC}\Rightarrow HK=\frac{SA.HC}{SC}=\frac{\sqrt{2}.1}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $BH$ là đường trung tuyến nên $BH=\frac{1}{2}AC=1$. Vì $BH\perp (SAC)\Rightarrow BH\perp HK\Rightarrow \tan \widehat{BKH}=\frac{BH}{HK}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BKH}=60^{\circ }$. Vậy số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng 2 nên diện tích đáy $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Thể tích khối lăng trụ đứng $V=S\cdot h=2\cdot 3=6$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2204, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình vuông cạnh $AB=2$ nên $S_{ABCD}=2^2=4$ (ý a sai). $AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$. Góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAO}=60^{\circ }$ nên $SO=AO\tan 60^{\circ }=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$ (ý b đúng). Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{6}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\ne 4\sqrt{6}$ (ý c sai). Vì $BC\parallel AD$ nên $d(SA,BC)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))$. Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp AO\Rightarrow AB\perp SA$, suy ra $AB\perp (SAD)$, do đó khoảng cách bằng $AB=2\ne \sqrt{21}$ (ý d sai). Khớp đáp án nguồn: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình vuông cạnh 2 nên $S_{ABCD}=2^2=4\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AO=\sqrt{2}$, $\widehat{SAO}=60^{\circ }$ nên $SO=AO\tan 60^{\circ }=\sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{6}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\ne 4\sqrt{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\parallel AD$ nên $d(SA,BC)=d(B,(SAD))$. Vì $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ nên $AB\perp (SAD)$, khoảng cách bằng $AB=2\ne \sqrt{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ theo công thức chuẩn là $V=\frac{1}{3}S.h$. Đáp án trùng với mã đề 2204, câu 7: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình vuông cạnh $AB=2$ nên $S_{ABCD}=2^2=4$, ý a) Sai. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ với $AO=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}$, góc $SAO=60^{\circ }$ nên $SO=AO\tan 60^{\circ }=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$, ý b) Đúng. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{6}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\ne 4\sqrt{6}$, ý c) Sai. Vì $BC\parallel AD$ nên $BC\parallel (SAD)$, khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAD)$. Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,\sqrt{6})$, mặt phẳng $(SAD)$ là $x=0$, khoảng cách từ $B(2,0,0)$ bằng $2$, không phải $\sqrt{21}$, ý d) Sai. Kết quả SDSS khớp bảng đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 13).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình vuông cạnh $2$ nên $S_{ABCD}=2^2=4\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AO=\sqrt{2}$, góc $SAO=60^{\circ }$ nên $SO=\sqrt{2}\tan 60^{\circ }=\sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{6}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\ne 4\sqrt{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\parallel AD$ nên khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $(SAD)=2$, không phải $\sqrt{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ theo công thức chuẩn là $V=\frac{1}{3}S.h$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 2102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng 2 nên diện tích đáy $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Thể tích khối lăng trụ đứng $V=S\cdot h=2\cdot 3=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 3a=a^3\ne 3a^3$ → Sai.
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC\perp BD$ và $SO\perp BD$ (do $BD\perp (SAC)$), vậy góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$ → Đúng.
c) $AB\perp AD$ (hình vuông) và $AB\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $AB\perp (SAD)$ → Đúng.
d) Tọa độ: $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),S(0,0,3a),M(0,\frac{a}{2},\frac{3a}{2})$. Đường $BC$ qua $B(a,0,0)$ có VTCP $\vec{u}=(0,1,0)$; đường $AM$ có VTCP $\vec{v}=(0,1,3)$. $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(3,0,0)$, $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, nên $d(AM,BC)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3a}{3}=a\ne a\sqrt{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 3a=a^3\ne 3a^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (SAC)$ nên góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ nên $AB\perp (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ tính được $d(AM,BC)=a\ne a\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều: $V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)$ với $S_1=5^2=25c{m}^2$, $S_2=2^2=4c{m}^2$, $h=3cm$. Suy ra $V=\frac{3}{3}\left(25+4+\sqrt{25\cdot 4}\right)=29+10=39c{m}^3$ mỗi viên đá. Số viên đá: $4$ khay $\times 6$ viên $=24$ viên. Lượng nước cần dùng: $24\times 39=936c{m}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 936.

a) $h=A^{\prime }O=\frac{\sqrt{34}}{2}$ ……………………

$V=\frac{a^3\sqrt{34}}{2}$ ……………………… (0,25 + 0,25 điểm)

b) $A^{\prime }O\perp (ABCD)\Rightarrow (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$ …….
$(ABCD)//(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\Rightarrow (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$. b) Sai: Vì $AC\perp BD$ tại $O$ và $SA\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$; góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$. Do $A,O,C$ thẳng hàng nên $\widehat{SOC}=180^{\circ }-\widehat{SOA}\ne \widehat{SOA}$ (với $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{OA}=\frac{2a}{a\sqrt{2}/2}=2\sqrt{2}$, $\widehat{SOA}\approx 70,5^{\circ }$). c) Đúng: $AD\perp AB$ (hình vuông) và $AD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $AD\perp (SAB)$. d) Đúng: $CD\parallel AB$ và $AB\subset (SAB)$ nên $d(AH,CD)=d(AH,(SAB))=d(D,(SAB))=AD=a$ (do $AH\subset (SAB)$ và $AD\perp (SAB)$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện là $\widehat{SOC}=180^{\circ }-\widehat{SOA}$, không bằng $\widehat{SOA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AD\perp AB$ và $AD\perp SA$ nên $AD\perp (SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD\parallel (SAB)$ nên $d(AH,CD)=d(D,(SAB))=AD=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều: $V=\frac{h}{3}\left(S+S^{\prime }+\sqrt{S{S}^{\prime }}\right)$ với $S=4^2=16c{m}^2$, $S^{\prime }=2^2=4c{m}^2$, $h=3cm$.
$$V=\frac{3}{3}\left(16+4+\sqrt{16\cdot 4}\right)=16+4+8=28c{m}^3.$$
Tổng số viên đá: $5\times 6=30$ viên.
Lượng nước cần dùng: $30\times 28=840c{m}^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (840).

a) $h=A^{\prime }I=\frac{a\sqrt{14}}{2}$
$S_d=a^2$; $V=a^3\frac{\sqrt{14}}{2}$ (0,25 + 0,25 điểm)

b) $AI\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\Rightarrow (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$
$(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$
$\Rightarrow (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$ (0,25 + 0,25 điểm)