Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

Mô hình hoá bệ đỡ bằng chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $O,O^{\prime }$ tương ứng là tâm của hai đáy. Theo bài ra $AB=8;A^{\prime }{B}^{\prime }=4$.

$\left(C{C}^{\prime },(ABCD)\right)=\left(C{C}^{\prime },CH\right)=\widehat{HC{C}^{\prime }}=45^{\circ }$.

$ABCD$ là hình vuông cạnh 8, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ hình vuông cạnh 4 nên

$\Rightarrow AC=8\sqrt{2}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }=4\sqrt{2}\Rightarrow HC=\frac{8\sqrt{2}}{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$

Do tam giác $C^{\prime }HC$ vuông cân ở $H$ nên chiều cao khối chóp cụt $O{O}^{\prime }=C^{\prime }H=2\sqrt{2}$.

$C{C}^{\prime }=C^{\prime }H.\sqrt{2}=4$

Thể tích khối chóp cụt:

$V=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime }\right)=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}\left(4^2+\sqrt{4^2.8^2}+8^2\right)=\frac{224\sqrt{2}}{3}\left({\text{m}}^3\right)$.

Chi phí bê tông: $\frac{224\sqrt{2}}{3}.1000000$ đồng.

Mặt khác:
$CK=\frac{8-4}{2}=2$, đường cao của hình thang mặt bên $C^{\prime }K=\sqrt{C^{\prime }{C}^2-C{K}^2}=2\sqrt{3}$.

Diện tích một mặt bên: $\frac{(8+4).2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}{m}^2$.

Diện tích 4 mặt bên $4.12\sqrt{3}=48\sqrt{3}{m}^2$

Chi phí sơn: $48\sqrt{3}.(20.000+30.000)$ đồng.

Tổng chi phí: $\frac{224\sqrt{2}}{3}.1000000+48\sqrt{3}.(20000+30000)\approx \mathrm{109.752.000}$ đồng.

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Mô hình hoá bệ đỡ bằng chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $O,O^{\prime }$ tương ứng là tâm của hai đáy. Theo bài ra $AB=8;A^{\prime }{B}^{\prime }=4$.

$\left(C{C}^{\prime },(ABCD)\right)=\left(C{C}^{\prime },CH\right)=\widehat{HC{C}^{\prime }}=45^{\circ }$.

$ABCD$ là hình vuông cạnh 8, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ hình vuông cạnh 4 nên

$\Rightarrow AC=8\sqrt{2}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }=4\sqrt{2}\Rightarrow HC=\frac{8\sqrt{2}}{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$

Do tam giác $C^{\prime }HC$ vuông cân ở $H$ nên chiều cao khối chóp cụt $O{O}^{\prime }=C^{\prime }H=2\sqrt{2}$.

$C{C}^{\prime }=C^{\prime }H.\sqrt{2}=4$

Thể tích khối chóp cụt:

$V=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime }\right)=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}\left(4^2+\sqrt{4^2.8^2}+8^2\right)=\frac{224\sqrt{2}}{3}\left({\text{m}}^3\right)$.

Chi phí bê tông: $\frac{224\sqrt{2}}{3}.1000000$ đồng.

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

Mặt khác:
$CK=\frac{8-4}{2}=2$, đường cao của hình thang mặt bên $C^{\prime }K=\sqrt{C^{\prime }{C}^2-C{K}^2}=2\sqrt{3}$.

Diện tích một mặt bên: $\frac{(8+4).2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}{m}^2$.

Diện tích 4 mặt bên $4.12\sqrt{3}=48\sqrt{3}{m}^2$

Chi phí sơn: $48\sqrt{3}.(20.000+30.000)$ đồng.

Tổng chi phí: $\frac{224\sqrt{2}}{3}.1000000+48\sqrt{3}.(20000+30000)\approx \mathrm{109.752.000}$ đồng.

Diện tích đáy hình vuông $ABCD$ là: $S_{ABCD}=4^2=16$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 5=\frac{80}{3}\approx 26,7$.

Thể tích khối lăng trụ được tính theo công thức: $V=S\cdot h=3\cdot 5=15$.
Chọn đáp án (B).

Công thức tính thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Sh$.
Chọn đáp án (A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là $\widehat{SCA}=60^{\circ }$. Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4$ nên $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Khi đó $SA=AC\cdot \tan 60^{\circ }=5\sqrt{3}$ cm. Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot (3\cdot 4)\cdot 5\sqrt{3}=20\sqrt{3}\approx 34,6$ cm${}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm. Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $SA=AC\cdot \tan 45^{\circ }=13$ cm. Diện tích đáy $S_{ABCD}=5\cdot 12=60$ cm${}^2$. Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot 60\cdot 13=260$ cm${}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là $\widehat{SCA}=60^{\circ }$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm.
Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $SA=AC\cdot \tan 60^{\circ }=10\sqrt{3}$ cm.
Diện tích đáy: $S_{ABCD}=AB\cdot AD=6\cdot 8=48$ cm${}^2$.
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 10\sqrt{3}=160\sqrt{3}\approx 277,13$ cm${}^3$.
Làm tròn đến hàng đơn vị: $V\approx 277$ cm${}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên đáy, góc giữa SC và đáy là góc SCA = 30°. Tam giác ABC vuông tại A: AC = √(9² + 12²) = 15 cm. Tam giác SAC vuông tại A: SA = AC·tan30° = 15·(1/√3) = 5√3 cm. Diện tích đáy S_ABCD = 9·12 = 108 cm². Thể tích V = (1/3)·108·5√3 = 180√3 ≈ 311,77 ≈ 312 cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác là hình chóp có mặt đáy là tứ giác (các mặt bên là tam giác). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AC=x$. Vì $SA=SB=SC=3$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, bán kính $R=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}$. Chiều cao trại $h=\sqrt{9-R^2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{2x}{2}\cdot \sqrt{9-\frac{4+x^2}{4}}=\frac{x}{3}\sqrt{8-\frac{x^2}{4}}$. Xét $f(x)=x^2\left(8-\frac{x^2}{4}\right)=8x^2-\frac{x^4}{4}$, $f^{\prime }(x)=16x-x^3=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$? Kiểm tra lại: $f^{\prime }(x)=16x-x^3$, cho $x^2=16$, nhưng cần $8-\frac{x^2}{4}>0$ tức $x^2<32$, thỏa mãn. Tuy nhiên tính lại $V^2=\frac{x^2}{9}\left(9-\frac{4+x^2}{4}\right)=\frac{x^2}{9}\cdot \frac{32-x^2}{4}$. Đặt $g(x)=x^2(32-x^2)$, $g^{\prime }(x)=64x-4x^3=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$. Vậy $AC=4$ m khi thể tích lớn nhất (kiểm tra: $BC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$, $R=\sqrt{5}$, $h=\sqrt{9-5}=2>0$ hợp lệ). Đáp số: $AC=4m$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $3\sqrt{3}$, $I$ trung điểm $BC$ nên $AI$ là đường cao: $AI=\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$. Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, tam giác $A^{\prime }IA$ vuông tại $A$ với $\tan \widehat{A^{\prime }IA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AI}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$, suy ra $A{A}^{\prime }=\frac{9\sqrt{3}}{2}$. Diện tích đáy $S=\frac{\sqrt{3}}{4}(3\sqrt{3}{)}^2=\frac{27\sqrt{3}}{4}$. Thể tích $V=S\cdot A{A}^{\prime }=\frac{27\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{729}{8}=91,125\approx 91,1$, trùng đáp án nguồn (đề 0103, Phần III, câu 2: 91,1).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích lăng trụ: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=a^2\sqrt{3}\cdot 2a\sqrt{3}=2a^3\cdot 3=6a^3$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 0103, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh 3 nên đường cao $AI=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AI$ và tam giác $A^{\prime }IA$ vuông tại $A$. Theo đề: $\tan \widehat{A^{\prime }IA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AI}=\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $A{A}^{\prime }=\frac{AI}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$. Diện tích đáy $S=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$. Thể tích $V=S\cdot A{A}^{\prime }=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{8}\approx 5,85$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích lăng trụ: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=a^2\sqrt{3}\cdot 2a\sqrt{3}=2a^3\cdot 3=6a^3$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Đề 0101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABC vuông cân tại A, AC=2a nên AB=2a, BC=2a√2, AI=BC/2=a√2. a) SA⊥(ABC) nên chiều cao hình chóp là SA=a√6≠2a → Sai. b) S_ABC=(1/2)·2a·2a=2a², V=(1/3)·2a²·a√6=(2a³√6)/3 → Đúng. c) Tam giác ABC cân tại A, I trung điểm BC nên AI⊥BC; SB=SC=√(SA²+AB²)=a√10 nên tam giác SBC cân tại S, SI⊥BC. Suy ra BC⊥(SAI) mà BC⊂(SBC), do đó (SBC)⊥(SAI) → Đúng. d) BC⊥AI và BC⊥SI nên góc nhị diện [S,BC,A] là ∠SIA với tan∠SIA=SA/AI=a√6/(a√2)=√3 → ∠SIA=60° → Đúng. Đối chiếu bảng đáp án trang 11, cột 2a–2d có dòng S, D, D, D khớp với kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABC) nên chiều cao hình chóp là SA=a√6, không phải 2a.
b) (AI giải đề cho tôi)
S_ABC=(1/2)·2a·2a=2a², V=(1/3)·2a²·a√6=(2a³√6)/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AI⊥BC (đường trung tuyến tam giác cân) và SI⊥BC (đường cao tam giác SBC cân tại S) nên BC⊥(SAI), suy ra (SBC)⊥(SAI).
d) (AI giải đề cho tôi)
tan∠SIA=SA/AI=a√6/(a√2)=√3 nên ∠SIA=60°.

a) Ta có $SA\perp (ABCD)$

Thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.a.a\sqrt{3}=a^3$

b) Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của SD lên $(ABCD)$ là AD.

Góc tạo bởi SD và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$.

$\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\to \widehat{SDA}=60^{\circ }$.

c) Ta có: $V_{C.SBD}=V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{a^3}{2}$.

Gọi H là trung điểm SB

$S_{△SBD}=\frac{1}{2}.DH.SB=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5}{2}}.\sqrt{6}.a^2=\frac{\sqrt{15}{a}^2}{2}$

$\to h^{\prime }=d(C;(SBD))=\frac{3V_{C.SBD}}{S_{△SBD}}=\frac{\sqrt{15}}{5}a$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$,

$d(G;(SBD))=\frac{1}{3}d(C;(SBD))=\frac{h^{\prime }}{3}=\frac{\sqrt{15}}{15}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng đáp án trang 11 cột 2a–2d (dòng 1) là D, D, S, S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập của Câu 2. Bảng trang 10 cột 1a–1d (D,S,D,D) là đáp án của Phần II Câu 1 (hàm số y=(x+3)/(x−1)), không phải Câu 2, nên không có mâu thuẫn.

Giải chi tiết Câu 2: Đáy ABC vuông cân tại A, AC=2a nên AB=2a, BC=2a√2, AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AI=BC/2=a√2 và AI⊥BC.

a) Vì SA⊥(ABC) nên chiều cao hình chóp là SA=a√3 → Đúng.

b) BC⊥AI và BC⊥SA (vì SA⊥(ABC)) nên BC⊥(SAI). Vì BC⊂(SBC) nên (SBC)⊥(SAI) → Đúng.

c) S_{ABC}=½·2a·2a=2a², V=⅓·2a²·a√3=2a³√3/3 ≠ 2a³√6/3 → Sai.

d) BC⊥(SAI) nên [S,BC,A] là góc giữa SI và AI: tan∠SIA=SA/AI=a√3/(a√2)=√(3/2), góc ≈ 50,77° ≠ 30° → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABC) nên chiều cao là SA=a√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥AI, BC⊥SA nên BC⊥(SAI), suy ra (SBC)⊥(SAI).
c) (AI giải đề cho tôi)
V=⅓·2a²·a√3=2a³√3/3 ≠ 2a³√6/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan∠SIA=√(3/2) nên góc ≈ 50,77° ≠ 30°.

a) Ta có $SA\perp (ABCD)$

Thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a.a.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

b) Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của SB lên $(ABCD)$ là AB.

Góc tạo bởi SB và mặt phẳng $(ABCD)$ là SB lên mặt phẳng $\widehat{SBA}$.

$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=30^{\circ }.$

c) Ta có: $V_{C.SBD}=V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{2}.\frac{a^3\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

Gọi H là trung điểm SD

$S_{△SBD}=\frac{1}{2}.BH.SD=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{7}{2}}.\sqrt{2}.a^2=\frac{\sqrt{7}{a}^2}{2}$

$\Rightarrow h^{\prime }=d(C;(SBD))=\frac{3V_{C.SBD}}{S_{△SBD}}=\frac{\sqrt{21}}{7}a.$

Gọi G là trọng tâm tam giác $SBC$,

$d(G;(SBD))=\frac{1}{3}d(C;(SBD))=\frac{h^{\prime }}{3}=\frac{\sqrt{21}}{21}a.$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }$. Đáy là tam giác đều cạnh 4 nên $S_{ABC}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=3$, do đó $V=4\sqrt{3}\cdot 3=12\sqrt{3}\approx 20,7846\approx 20,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (20,8).