Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

a) Viết đúng ${\log }_2\frac{m^3}{4}={\log }_2{m}^3-{\log }_{2}4$. Tính đúng ${\log }_2\frac{m^3}{4}=3{\log }_{2}m-2=3.5-2=13$.

b) Gọi $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng $6cm$ và cạnh bên bằng $7cm$. Gọi $O=AC\cap BD$.
[Hình cần kiểm tra lại: p10_f2]
$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{7^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{31}$.
$S_{ABCD}=A{B}^2=6^2=36$.
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot \sqrt{31}=12\sqrt{31}\approx 66,8c{m}^3$.
Vậy cần sử dụng $66,8c{m}^3$ thủy tinh để làm cái chặn giấy này.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: $V=B\cdot h$. Đáp án khớp với mã đề 1002, câu 9: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích diện tích đáy và chiều cao: $V=\frac{1}{3}Bh$. Đáp án trùng với mã đề 1001, câu 12: A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 2: $S=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Thể tích lăng trụ: $V=S\cdot h=\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}\approx 5,196\approx 5,2$. Khớp với đáp án nguồn 5,2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $I$ là trung điểm $AB$. Tam giác $SAB$ đều cạnh 12 nên $SI=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$, nên $SI\perp (ABCD)$, tức $SI$ là đường cao của chóp. Diện tích đáy $S_{ABCD}=12^2=144$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 6\sqrt{3}=288\sqrt{3}\approx 498,83\approx 499$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (499).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{đ\acute{a}y}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 5=20{\text{cm}}^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh 6 nên $SH\perp AB$ với $SH=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Mặt phẳng $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến là $AB$, mà $SH\subset (SAB)$, $SH\perp AB$ nên $SH\perp (ABCD)$. Vậy chiều cao của chóp là $h=SH=3\sqrt{3}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 3\sqrt{3}=36\sqrt{3}\approx 62,3538\approx 62,4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 62,4.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 4=12{\text{cm}}^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 7: A).

a) Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Ta có: $SG\perp (ABC)$ nên $SG$ là đường cao của khối chóp $S.ABC$. Có $GA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$. Suy ra $(SA,(ABC))=(SA,GA)=\widehat{SAG}=60^{\circ }$.

Ta có: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}.SG$.

$S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $SG=\tan 60^{\circ }.AG=\sqrt{3}.\left(\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=a$.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{a}^2\frac{\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

b) $d(SB,AC)=d(SA,BC)$. Kẻ $IJ\perp SA$, ta có $BC\perp (SAI)\Rightarrow BC\perp IJ$ nên $IJ$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$. $\Rightarrow d(SA,BC)=IJ=AI.\sin 60^{\circ }=a\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$. Vậy $d(SB,AC)=\frac{3a}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. A sai vì thiếu điều kiện đứng; B sai vì lăng trụ đứng có thể có đáy không đều; D sai vì lăng trụ tứ giác đều chỉ là hình lập phương khi cạnh bên bằng cạnh đáy. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: C).

Gọi H là chân đường cao hạ từ A lên $\mathrm{mp}\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ (0,5 điểm).
Xét tam giác vuông $A{A}^{\prime }H$: $AH=A{A}^{\prime }\cdot \sin 45^0=a\sqrt{2}$ (0,5 điểm).
Thể tích: $V=S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot AH=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$ (0,5 điểm).

Gọi H là chân đường cao hạ từ A lên $\mathrm{mp}\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ (0,5 điểm).
Xét tam giác vuông $A{A}^{\prime }H$: $AH=A{A}^{\prime }\cdot \sin 60^0=a\sqrt{3}$ (0,5 điểm).
Thể tích: $V=S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot AH=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3}{4}{a}^3$ (0,5 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Do đó A đúng. B sai vì lăng trụ đứng có thể có đáy không đều. C sai vì lăng trụ có đáy đa giác đều nhưng không đứng thì không phải lăng trụ đều. D sai vì lăng trụ tứ giác đều chỉ là hình lập phương khi cạnh bên bằng cạnh đáy. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $C(0;2;0)$, $S(2;0;2\sqrt{3})$ (vì $SA\perp (ABC)$, $SA=2\sqrt{3}$). Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{12+4}=4$. Hình chiếu $H$ của $A$ trên $SB$: $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 2}{4}=\sqrt{3}$, suy ra $BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{4-3}=1$, tọa độ $H=\left(\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Thể tích $V_{B.AHC}=V_{A.BHC}=\frac{1}{3}\cdot d(A,(SBC))\cdot S_{△BHC}$. Vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp AH$, kết hợp $AH\perp SB$ suy ra $AH\perp (SBC)$, tức $d(A,(SBC))=AH=\sqrt{3}$. Tính diện tích tam giác $BHC$ bằng tích có hướng: $\overrightarrow{HB}=\left(-\frac{1}{2};0;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{HC}=\left(-\frac{1}{2};2;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{HB}\times \overrightarrow{HC}=(\sqrt{3};0;-1)$, nên $S_{△BHC}=\frac{1}{2}\sqrt{3+1}=1$. Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58c{m}^3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ tọa độ: $B=(0;0;0)$, $A=(2;0;0)$, $C=(0;2;0)$, $S=(2;0;2\sqrt{3})$.

Ta có $SB=\sqrt{A{B}^2+S{A}^2}=\sqrt{4+12}=4$. Vì $AH\perp SB$ trong tam giác vuông $SAB$ (vuông tại $A$): $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 2}{4}=\sqrt{3}$, và $BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=1$, nên $H=\frac{BH}{SB}\cdot S=\left(\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Tam giác $AHC$: $\overrightarrow{AC}=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{AH}=(-\frac{3}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AH}=(\sqrt{3};\sqrt{3};3)$, nên $S_{AHC}=\frac{1}{2}\sqrt{3+3+9}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Mặt phẳng $(AHC)$: $\sqrt{3}(x-2)+\sqrt{3}y+3z=0$. Khoảng cách từ $B$ đến $(AHC)$: $d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Thể tích: $V_{B.AHC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{15}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5774\approx 0,58c{m}^3$. Khớp với đáp án nguồn 0,58.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$ là $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên chiều cao khối chóp là $h=SA=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Sọt là hình chóp cụt đều với đáy dưới cạnh $a=20cm$, đáy trên cạnh $b=30cm$, cạnh bên $15cm$. Chiều cao $h$: khoảng cách từ tâm đáy lớn đến tâm đáy nhỏ theo phương ngang là $\frac{b-a}{2}\sqrt{2}=5\sqrt{2}$, nên $h=\sqrt{15^2-(5\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{225-50}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}$. Diện tích hai đáy: $S_1=400$, $S_2=900$, $\sqrt{S_1{S}_2}=600$. Thể tích $V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=\frac{5\sqrt{7}}{3}\cdot 1900=\frac{9500\sqrt{7}}{3}\approx 8378,22\approx 8378c{m}^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (8378).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=6a^2\cdot h=6a^{2}h$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 0102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy tam giác đều cạnh $a$ có diện tích $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên chiều cao của chóp là $h=SA=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Sọt là hình chóp cụt đều với đáy nhỏ cạnh a = 20 cm, đáy lớn cạnh b = 30 cm, cạnh bên l = 15 cm. Nửa hiệu hai đường chéo của hai đáy: d = (b√2 − a√2)/2 = (30√2 − 20√2)/2 = 5√2 (cm). Chiều cao của chóp cụt: h = √(l² − d²) = √(225 − 50) = √175 = 5√7 (cm). Diện tích hai đáy: S₁ = 400 cm², S₂ = 900 cm². Thể tích: V = (h/3)(S₁ + S₂ + √(S₁S₂)) = (5√7/3)(400 + 900 + 600) = (5√7/3)·1900 = (9500√7)/3 ≈ 8377,97 ≈ 8378 cm³. Kết quả khớp với đáp án nguồn 8378.