Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=6a^2\cdot h=6a^{2}h$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0), S(0,0,a√2). a) AC⊥BD và AC⊥SA nên BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC: Đúng. b) Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA, tan = SA/AC = a√2/(a√2) = 1 ⇒ góc bằng 45°, không phải 60°: Sai. c) BC ∥ AD nên BC ∥ (SAD), do đó d(SM,BC) = d(BC,(SAD)) = d(B,(SAD)) = AB = a ≠ a√2: Sai. d) M(a/2,0,0), N(0,a/2,a√2/2), P(a/4,3a/4,0); V_{BMNP} = |det(BM,BN,BP)|/6 = (3a³√2/16)/6 = a³√2/32: Đúng. Khớp đáp án mã đề 1008: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD (tính chất hình vuông) và AC⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) nên AC⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA với tan(SCA) = SA/AC = a√2/(a√2) = 1, nên góc bằng 45° chứ không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD nên BC ∥ (SAD) ⊃ SM, do đó d(SM,BC) = d(BC,(SAD)) = d(B,(SAD)) = AB = a ≠ a√2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ M(a/2,0,0), N(0,a/2,a√2/2), P(a/4,3a/4,0): V_{BMNP} = |det(BM,BN,BP)|/6 = (3a³√2/16)/6 = a³√2/32.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi đáy lục giác đều cạnh 8 cm là $p=6\cdot 8=48$ cm. Diện tích xung quanh $S_{xq}=p\cdot h=48h=1536$ nên chiều cao $h=32$ cm. Diện tích đáy là $S_{đ\acute{a}y}=6\cdot \frac{8^2\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}$ cm². Thể tích $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=96\sqrt{3}\cdot 32=3072\sqrt{3}\approx 5321$ cm³, khớp với đáp án nguồn 5321.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi đáy lục giác đều cạnh 8 cm là $6\cdot 8=48$ cm. Diện tích xung quanh $S_{xq}=48h=1536$ nên chiều cao $h=32$ cm. Diện tích đáy: $S_6=\frac{6\cdot 8^2\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}$ cm². Thể tích $V=S_6\cdot h=96\sqrt{3}\cdot 32=3072\sqrt{3}\approx 5320,7\approx 5321$ cm³, khớp với đáp án nguồn 5321.

Đổi đơn vị sang mét: $a=0,45$ m; $b=0,35$ m; $h=1,1$ m.
Thể tích 1 chậu chóp cụt: $V_1=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}\cdot 1,1\cdot (0,45^2+0,45\cdot 0,35+0,35^2)\approx 0,1769$ m${}^3$.
Tổng thể tích 3 chậu: $V=3V_1\approx 3\cdot 0,1769=0,5307$ m${}^3$.
Làm tròn tới phần trăm được kết quả: 0,53.

Ta có: $V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (3a{)}^2\cdot 4a=12a^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của chóp, $h=SA=a$. Đáy là tam giác vuông tại $A$ với $AB=a$, $AC=2a$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{3}$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lập phương cạnh $AB=a\sqrt{5}$ là $V=A{B}^3=(a\sqrt{5}{)}^3=a^3\cdot 5\sqrt{5}=5a^3\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1191, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB$ là chiều cao của chóp, $h=SB=a$. Đáy là tam giác đều cạnh $2a$ nên $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$. Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SB=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}{a}^2\cdot a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1141: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hình hộp chữ nhật $V=AB\cdot AD\cdot C{C}^{\prime }=2\cdot 4\cdot 1=8$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình vuông cạnh $a$ nên $S_{ABCD}=a^2$. Trong hình chóp đều, $SO$ là đường cao, $SO=2a$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Khối chóp tứ giác đều có đáy trùng với cả mặt hình vuông của khối lập phương nên diện tích đáy $S=10\cdot 10=100c{m}^2$, chiều cao bằng cạnh hộp $h=10cm$. Thể tích mô hình nhựa (khối chóp) là $V_{ch\acute{o}p}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 10=\frac{1000}{3}c{m}^3$. Thể tích khối hộp là $10^3=1000c{m}^3$. Lượng nước đổ vào để lấp đầy phần còn lại: $V=1000-\frac{1000}{3}=\frac{2000}{3}\approx 666,67\approx 667c{m}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ với góc $ABC=120^{\circ }$ là $S_{ABCD}=a^2\sin 120^{\circ }=a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ có đường cao $h=3a$: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}\cdot 3a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=4a$. Diện tích một mặt bên là $AB\cdot A{A}^{\prime }=4a\cdot A{A}^{\prime }=8a^2$, suy ra chiều cao $A{A}^{\prime }=2a$. Diện tích đáy là tam giác đều cạnh $4a$: $S_{ABC}=\frac{(4a{)}^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{a}^2$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=4\sqrt{3}{a}^2\cdot 2a=8\sqrt{3}{a}^3$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h$, với $V=48c{m}^3$, $S_{ABC}=12c{m}^2$. Suy ra $h=\frac{3V}{S_{ABC}}=\frac{3\cdot 48}{12}=12cm$. Vậy khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ bằng $12cm$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=3a^2-2a^2=a^2\Rightarrow BC=a$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot BC=a\sqrt{2}\cdot a=a^2\sqrt{2}$. Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{2}\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}$. Đáp án C.

Lời giải:
$$V_{A^{\prime }BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2}{3}{V}_{A^{\prime }.ABC}=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{2}}{12}{\left(6\sqrt{2}\right)}^3=48$$

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

Đáp án: 48.

a)



+ Xét tam giác vuông tại $B$: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=2a$

+ Diện tích đáy $ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=a^2$

+ Thể tích khối chóp là: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{2a^3}{3}$

b)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$, nên: $d(M,(SBC))=\frac{1}{2}.d(A,(SBC))$

Gọi $H$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $AH$ là đường cao hạ xuống $SB$, nên ta dễ dàng suy ra $AH\perp SB$ tại $H$. Do $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\iff BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AH$.

Do đó $AH\perp (SBC)$ hay $d(A,(SBC))=AH$

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, hệ thức lượng cho đường cao $AH$:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}\iff AH=\frac{2a}{\sqrt{5}}\iff d(M,(SBC))=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

a)



+ Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy $(ABCD)$. Do đó, giao tuyến của chúng là $SA\perp (ABCD)$. Vậy $SA$ là đường cao của hình chóp (0,5đ)
+ Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Suy ra $ABC$ là tam giác đều, nên $S_{ABCD}=2\cdot S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

(0,25đ) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Vì $M$ là trung điểm của $SC$ và $SA\perp (ABCD)$ $\Rightarrow MH\parallel SA$, do đó $MH\perp (ABCD)$
Hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $H$, nên hình chiếu của đường thẳng $BM$ lên đáy là $BH$
Góc giữa $BM$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{MBH}=45^{\circ }$. Do đó, $MBH$ là tam giác vuông cân tại $H$, nên $MH=BH$

(0,25đ) Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, đường trung tuyến $BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Nên $MH=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do $MH$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $SA=2\cdot MH=a\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABCD}=\frac{a^3}{2}$

b)
(0,25đ) Ta có $AB\parallel CD\Rightarrow AB\parallel (SCD)$, do đó $d(AB,SD)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$
Kẻ $AK\perp CD$ tại $K$. Vì $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{ABC}=60^{\circ }\Rightarrow \widehat{ADC}=60^{\circ }$
Tam giác $ADC$ đều cạnh $a$, nên $K$ chính là trung điểm của $CD$ và $AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

(0,25đ) Ta có $CD\perp AK$ và $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAK)$
Kẻ $AI\perp SK$ tại $I$ ($I$ thuộc $SK$). Vì $CD\perp (SAK)$ nên $CD\perp AI$, vậy suy ra rằng $AI\perp (SCD)$
Vậy $d(A,(SCD))=AI$
Ta có hệ thức lượng trong tam giác $SAK$ vuông tại $A$, đường cao $AI$:
$\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{K}^2}\iff AI=\frac{a\sqrt{15}}{5}$ (Kết luận)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước: $V=6a\cdot 4a\cdot 3a=72a^3$ (đơn vị thể tích). Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án của đề (mã đề 1102).