Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

Một kỹ sư thiết kế một bình chứa nhiên liệu có thể đặt dưới thân máy bay để mở rộng tầm bay của nó. Sau một số thử nghiệm trên bản vẽ, người này quyết định tạo hình cho bình chứa bằng cách quay đồ thị hàm số $f(x)=a+bx-\frac{x^2}{16}$, với $-4\le x\le 4$ quanh trục $Ox$ (đơn vị: m³). Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B(4;0)$.

Một chiếc cúp lưu niệm (tham khảo hình vẽ) là một khối gồm 3 phần đế, thân và đỉnh. Phần đế là khối chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn và cạnh đáy nhỏ lần lượt là $8cm$ và $6cm$, chiều cao của đế là $5cm$. Phần thân được tạo thành khi đường sinh là một phần parabol quay quanh trục. Phần thân có đáy nhỏ là đường tròn có bán kính là $3cm$ còn đáy lớn là đường tròn có bán kính là $6cm$, chiều cao của phần thân là $25cm$, đáy nhỏ của phần thân nằm trên đáy nhỏ của phần đế. Phần đỉnh là một phần khối cầu có chiều cao bằng 60\% đường kính của khối cầu và mặt đáy lớn của phần thân có biên là một đường tròn nằm trên khối cầu này. Hai phần thân và đỉnh là khối tròn xoay có trục là đường thẳng $d$ vuông góc với mặt đáy của phần đế tại tâm của mặt đáy đó. Tính thể tích của chiếc cúp lưu niệm trên biết nó là khối đặc (tính theo $c{m}^3$ làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện $f(0)=-2$, $\left(x^2+1\right)f^{\prime }(x)+xf(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{1+f(x)}$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=3$. Quay $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng $V$ (đơn vị thể tích). Tính $V$. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)